- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
-
Прямая Симпсона. [7,8,9]
-
Пусть - описанная окружность треугольника , - произвольная точка на , отличная от вершин. Доказать, что проекции точки на прямые, содержащие стороны треугольника, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симпсона треугольника.
2. Точки и лежат на одной прямой, точка - вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников и точка лежат на одной окружности.
-
Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
-
Пусть - последовательные стороны вписанного четырехугольника, и - его диагонали. Доказать, что .
-
Пусть - описанная окружность правильного треугольника , - произвольная точка, лежащая на окружности . Доказать, что сумма расстояний от точки до двух ближайших вершин треугольника равна расстоянию от точки до третьей вершины.
-
Равнобедренный треугольник вписан в окружность . На дуге окружности, не содержащей , выбрана точка . Доказать, что величина не зависит от расположения точки .
-
В треугольнике углы и относятся как . Доказать, что стороны треугольника связаны равенством .
-
Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
-
(Теорема Чевы) Точки лежат на сторонах треугольника , соответственно. Докажите, что если прямые пересекаются в одной точке, то .
-
(Обобщение теоремы Чевы) Точки лежат на продолжениях сторон за точки , соответственно; точка лежит на стороне треугольника . Докажите, что прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .
-
Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме Чевы.
-
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
-
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
-
Вершины треугольника соединили с соответствующими точками касания вписанной окружности со сторонами. Доказать, что построенные отрезки пересекаются в одной точке. Эта точка обозначается и называется точкой Жергонна.
-
Окружность пересекает стороны треугольника в точках , соответственно. Докажите, что если прямые пересекаются в одной точке, то прямые также пересекаются в одной точке.
-
Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
-
(Теорема Менелая) Точки лежат на сторонах треугольника , соответственно; прямая пересекает продолжение стороны в точке . Докажите, что .
-
(Обобщение теоремы Менелая) Точки лежат на продолжениях сторон (за точки ) треугольника , соответственно; прямая пересекает продолжение стороны в точке . Докажите, что .
-
Сформулируйте и докажите теорему, обратную к теореме Менелая.
-
Докажите, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении , считая от вершины.
-
Прямая пересекает медиану треугольника в середине. В каком отношении точка делит сторону ?
-
Три высоты треугольника пересекаются в точке , которая делит одну из них пополам, а другую в отношении 2:1, считая от вершины. В каком отношении точка делит третью высоту?
-
Пусть точки лежат на сторонах треугольника , причем ; отрезки и пересекаются в точке , отрезки и пересекаются в точке . Найти отношение .