15. Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]

1. Пусть - точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ; обозначим ближайшую к вершине точку пересечения прямой с вписанной окружностью через . Доказать:

a) ;

b) - диаметр вписанной окружности;

c) прямые пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля треугольника .

2. Доказать, что точки и изотомически сопряжены.

16. Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]

1. Хорда разбивает окружность на две дуги. Окружность касается хорды в точке и одной из дуг в точке . Доказать, что - биссектриса треугольника .

2. На окружности выбраны точки . Из середины дуги , содержащей , опущен перпендикуляр на отрезок . Доказать, что .

17. Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]

1. В треугольник вписана окружность . Точки касания со сторонами и обозначены, соответственно, через и . На сторонах и отмечены также точки и , соответственно, для которых и . Пусть - точка пересечения отрезков и , и - ближайшая к вершине точка пересечения окружности и отрезка . Доказать, что .

2. Пусть - центры вписанной, описанной окружности, точка пересечения медиан и точка Нагеля треугольника. Доказать, что , .

18. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]

1. Пусть - окружность с центром в точке и радиусом . Степенью точки относительно называется число , где . Для каких точек плоскости степень положительна, отрицательна, равна нулю?

2. На плоскости дана окружность и точка . Прямая, проведенная через точку , пересекает окружность в точках и . Докажите, что произведение не зависит от выбора прямой. Эта величина, взятая со знаком плюс для точки вне окружности и со знаком минус для точки внутри окружности, равна степени точки относительно .

3. Пусть и - две не концентрические окружности. Множество точек на плоскости, имеющих одинаковые степени относительно окружностей и , называется радикальной осью этих окружностей. Доказать, что радикальная ось двух окружностей – прямая, перпендикулярная линии центров.

4. Доказать, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей – это прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, а радикальная ось двух касающихся окружностей – это общая касательная этих окружностей.

5. Доказать, что точка , лежащая вне окружностей и , лежит на радикальной оси этих окружностей тогда и только тогда, когда длины касательных, проведенных из к этим окружностям равны.

6. Вершины прямоугольника лежат на двух пересекающихся окружностях: точки и лежат на , точки и лежат на . Доказать, что точка пересечения диагоналей лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения окружностей и .

7. Пусть , и - три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что попарные радикальные оси этих окружностей пересекаются в одной точке. Эта точка называется радикальным центром трех окружностей , и .

8. Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось окружности и точки, считая точку окружностью нулевого радиуса. Что такое радикальная ось для двух точек? Что такое радикальный центр для трех точек?

9. Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось двух окружностей.

10. В треугольнике из вершин на противоположные стороны проведены шесть отрезков одинаковой длины (по два из каждой вершины). Докажите, что середины этих шести отрезков лежат на одной окружности

11. Дан остроугольный треугольник ABC. Касательные, проведенные из A к окружно­сти, построенной на BC как на диаметре, касаются окружности в точках P и Q. Докажите, что точки P, Q, H (H - ортоцентр треугольника ABC) лежат на одной прямой. Решение. Обозначим через - центр окружности с диаметром АС. Построим также окружность с диаметром АО. Прямая является радикальной ось этих двух окружностей. Проверим, что точка Н имеет одинаковую степень относительно этих окружностей, т.е. лежит на радикальной оси. Пусть - высоты треугольника АВС, проведенные из вершин и , соответственно. Степень точки Н относительно равна , а относительно , но точки лежат на окружности с диаметром АВ. Поэтому и значит .