5. Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]

1. Из точки к окружности проведена касательная и секущая, пересекающая в точках и . Доказать, что .

2. Из точки к окружности с центром в точке и радиусом проведены две секущие, пересекающие окружность в точках и , соответственно. Докажите, что . Не забудьте рассмотреть случай расположения точки внутри окружности.

3. В треугольнике ABC точки X, Y, Z лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что треугольники AYZ и XYZ – равносторонние, отрезки BY и CZ пересекаются в точке K. Докажите, что .

6. Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]

1. Доказать основное свойство биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника.

2. На сторонах и треугольника взяты соответственно точки и так, что . Отрезки и - биссектрисы треугольника . Докажите, что .

7. Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]

4. (Лемма Мансиона, лемма о трезубце) Пусть - точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью этого треугольника. Доказать, что .

5. (Обобщенная лемма Мансиона) Пусть - точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью этого треугольника. Доказать, что , где - центр вневписанной окружности, соответствующей вершине .

8. Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]

1. (Эйлер) Доказать, что 9 точек: середины сторон, основания высот треугольника , середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника , лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью Эйлера девяти точек треугольника.

2. Доказать, что радиус окружности Эйлера девяти точек равен , где - радиус описанной окружности треугольника .

3. Докажите, описанная окружность треугольника является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника .

4. Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

5. Остроугольный треугольник вписан в окружность . Окружность с центром в середине дуги окружности проходит через точки . Аналогично определяются окружности . Докажите, что попарные точки пересечения окружностей ,, отличные от , лежат на окружности, радиус которой в 2 раза больше радиуса окружности .

Решение. Пусть - середины дуг и окружности ; - точка пересечения окружностей , отличная от точки . Тогда симметрична относительно прямой ; ; отсюда , т.е. точки лежат на одной прямой (в случае эта прямая является касательной к окружности ). Аналогично, лежат на одной прямой, а значит середина отрезка . Рассматривая аналогично точки, получаем, что окружность является окружностью Эйлера треугольника . Отсюда вытекает утверждение задачи.

6. Биссектрисы углов остроугольного треугольника пересекают описанную около него окружность в точках соответственно. Прямая пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах и треугольника в точке . Точки и определяются аналогично. Доказать, что .

Решение. Пусть - точка пересечения биссектрис треугольника Окружность, описанная около треугольника , является окружностью девяти точек треугольника , т.е. окружностью, проходящей через основания высот треугольника , середины сторон этого треугольника и середины отрезков совпадающие с точками . Отрезок является медианой треугольника поэтому . Аналогичные равенства справедливы и для остальных пяти треугольников.