Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]

Доказать, что четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

сумма противоположных углов равна ;

, причем точки и лежат по одну сторону от прямой ;

внешний угол четырехугольника равен противоположному углу;

Пусть отрезки и пересекаются в точке . Тогда ;

Пусть прямые и пересекаются в точке вне отрезков и . Тогда .

В треугольнике провели высоты и . Доказать, что четырехугольник - вписанный.

Доказать, что точка симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника лежит на описанной окружности этого треугольника.

Доказать, что точка симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника лежит на описанной окружности этого треугольника.

Из произвольной точки , лежащей внутри данного угла с вершиной , опущены перпендикуляры и на стороны угла. Из точки опущен перпендикуляр на отрезок . Докажите, что .

В треугольнике провели биссектрисы и , при этом оказалось, что описанные окружности треугольников и пересекаются второй раз на стороне . Чему может равняться угол?

Одна из диагоналей вписанного четырехугольника – диаметр. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

В треугольнике и на стороне взята точка так, что . Биссектриса пересекает описанную около треугольника окружность в точке . Докажите, что точки лежат на одной окружности.

Во вписанном четырехугольнике точки - середины сторон соответственно. Докажите, что ортоцентры треугольников лежат в вершинах параллелограмма.

(Теорема Монжа) Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника описана окружность с центром в точке . Через середину хорды и точку проведена прямая. Она пересекает прямую в точке и окружность - в точке . Пусть биссектриса угла пересекает окружность в точке , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что точки и лежат на одной окружности.

Пусть , где b < c — длины сторон треугольника ABC, и AD — его биссектриса. Известно, что на сторонах AB и AC (но не в вершинах) можно выбрать такие точки E и F соответственно, чтобы выполнялись условия и BE = CF. Найдите длину отрез­ка BE (выразите его длину через ). Ответ. . Решение. Заметим, что в треугольниках и равны основания BE = CF, углы при вершинах и высоты, проведенные к указанным основаниям. Поэтому треугольники и равны. Поскольку , то . Следовательно, четырехугольник - вписанный и . Поэтому . С другой стороны, . Значит, , .

Пусть - вписанный четырехугольник; - ортоцентр треугольника , - середина отрезка . Точки строятся аналогично. Доказать, что эти точки совпадают.

Построить с помощью циркуля и линейки треугольник по центру описанной окружности, ортоцентру и прямой, содержащей одну из сторон.