37. Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.

1. Пусть - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника . Известно, что радиусы вписанных окружностей треугольников равны. Доказать, что - ромб.

Решение. Пусть, скажем, . В этом случае при центральной симметрии относительно точки образ треугольника будет лежать внутри треугольника , и, следовательно, радиус вписанной окружности треугольника будет меньше радиуса вписанной окружности треугольника . В случае же из равенства площадей треугольников получаем, что - ромб.

38. Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.

1.

39. Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]

1.

40. Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]

1. Пусть дана окружность с центром и радиусом . Инверсией относительно окружности называют преобразование, переводящее произвольную точку , отличную от , в точку , лежащую на луче , причем . Окружность в этом случае называется окружностью инверсии.

Пусть при инверсии относительно окружности точка переходит в точку , точка - в . Докажите, что треугольники и подобны.

2. Постройте с помощью одного циркуля:

   1. отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка;

   2. отрезок, который в раз длиннее данного отрезка;

   3. середину данного отрезка;

   4. отрезок в раз меньший данного отрезка;

   5. инверсный образ данной точки относительно окружности .

3. В сегмент, образованный дугой окружности и хордой, вписываются всевозможные пары касающихся окружностей.

   1. Найти множество их точек касания.

   2. Для каждой пары касающихся окружностей через точку касания проводится общая касательная. Доказать, что все построенные прямые проходят через одну точку.

4. На биссектрисе угла треугольника внутри треугольника взяты точки и так, что . Докажите, что:

a) ;

b) окружность, проходящая через точки , и касающаяся отрезка , касается окружности описанной около треугольника .

41. Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]

1. Пусть дана окружность с центром в точке и радиусом . Полярой точки , не совпадающей с центром окружности, называется множество точек в плоскости окружности, для которых . Доказать, что поляра точки - это прямая, перпендикулярная прямой . Что является полярой точки, лежащей на окружности?

2. Точка называется полюсом прямой , которая является полярой точки . Мы будет обозначать поляру и полюс . Что является полюсом касательной к окружности ? Доказать, что отображение является взаимно однозначным соответствием между множеством точек на плоскости, отличных от центра окружности , и множеством прямых на плоскости, не проходящих через центр .

3. Доказать свойство взаимности поляр: .

4. Доказать, что центр лежит на прямой тогда и только тогда, когда .

5. Пусть - описанный четырехугольник, точки касания вписанной окружности со сторонами , соответственно. Докажите, что либо точка пересечения прямых и лежит на прямой , либо прямые и параллельны .

6. (Теорема Паскаля) Пусть - вписанный шестиугольник. Доказать, что точки пересечения пар противоположных сторон этого шестиугольника (если они существуют) лежат на одной прямой. Указание. Примените полярное преобразование относительно описанной окружности и воспользуйтесь теоремой Брианшона.

7. В треугольнике на сторонах и взяты точки соответственно, и пересекаются в точке . Оказалось, что четырехугольник - описанный с центром вписанной окружности . Пусть - основание перпендикуляра из точки на прямую . Докажите, что - биссектриса .

42. Лемма о шестиугольнике, вписанном в окружность.[7]

1. Пусть - стороны шестиугольника, вписанного в окружность. Доказать, что большие диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .

2. Сформулируйте и докажите лемму о шестиугольнике для случая самопересекающегося шестиугольника.

43. Построение поляры точки с помощью одной линейки. Построение касательной к окружности с помощью одной линейки.[7]

1.

44. Автополярный треугольник.[7]

1. Треугольник называется автополярным относительно окружности , если каждая сторона треугольника (прямая, содержащая сторону) является полярой противоположной вершины относительно . Доказать, что автополярный треугольник является тупоугольным.

44. Неравенства в геометрии.

1. Даны три окружности , , соответственно с центрами , которые пересекаются в одной точке. Кроме того, окружность пересекается с также в точке А, с в точке C, с в точке B. Пусть Х – точка на окружности и прямая АХ пересекает в точке , а прямая XB пересекает в точке (см. рисунок). Доказать, неравенство для площадей треугольников . Решение. Заметим, во-первых, что точки лежат на одной прямой. В самом деле, . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . С этим же коэффициентом подобны треугольники и . То есть . Отсюда вытекает неравенство для площадей .

2. Доказать, что произведение длин любых двух сторон треугольника не меньше, чем произведение диаметров окружностей вписанной и описанной около треугольника. Решение. Пусть - стороны, полупериметр, радиусы вписанной и описанной окружности треугольника, соответственно. Нужно доказать неравенство: . Кроме того, площадь треугольника может быть вычислена по формулам: . Поэтому требуемое неравенство преобразуется к виду: , что очевидно.

3. Продолжения медиан треугольника пересекают описанную около него окружность в точках соответственно. Доказать, что .

4. Среди всех тетраэдров, вписанных в данный правильный тетраэдр, найти тетраэдр с наименьшей суммой ребер. (Вершины вписанного тетраэдра лежат на различных гранях данного тетраэдра).

5. Внутри остроугольного треугольника с максимальной стороной взята точка так, что - прямой. Из точки опущены перпендикуляры и на стороны и . Прямая пересекает сторону в точке . Докажите, что периметр меньше .

6. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-то диагонали, а каждая диагональ равна какой-то стороне?