27. Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]

1. Доказать, что для произвольной внутренней точки треугольника выполняется равенство: . Здесь - площадь треугольника .

2. Введем понятие ориентированной площади треугольника: , если точка и точка лежат по одну сторону от прямой и в противном случае. Аналогично определяются и . Доказать, что для произвольной точки в плоскости треугольника выполняется равенство: .

3. Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей.

4. Пусть точка имеет барицентрические координаты . Найти барицентрические координаты точки - изотомически сопряженной точке . Найти барицентрические координаты точки Нагеля .

5. Пусть точка имеет барицентрические координаты . Найти барицентрические координаты точки - изогонально сопряженной точке . Найти барицентрические координаты точки Лемуана .

28. Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]

1. Пусть точки в плоскости треугольника заданы своими барицентрическими координатами . Доказать, что точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

2. Пусть две различные точки в плоскости треугольника . Доказать, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда . Это уравнение задает прямую .

3. Пусть прямые в плоскости треугольника задаются в барицентрических координатах уравнениями: и . Доказать, что барицентрическими координатами точки пересечения этих прямых являются коэффициенты при , получающиеся при раскрытии определителя .

29. Уравнение бесконечно удаленной прямой в барицентрических координатах. Условие параллельности двух прямых. [1,2,5,12]

1.

30. Уравнение основных линий в барицентрических координатах: сторона, медиана, биссектриса, высота, средняя линия. Связь барицентрических координат изогонально и изотомически сопряженных точек. [1,2,5,12]

1.

31. Трилинейные координаты. Формулы перехода от барицентрических координат к трилинейным и обратно. Уравнение прямой, соединяющей основания биссектрис углов и треугольника , в трилинейных координатах.[5,12]

1.

32. Аффинные преобразования. Инвариантность барицентрических координат при аффинных преобразованиях. Задача о центрах вписанных в треугольник эллипсов.[5]

1.

33. Лемма о трапеции. [5]

1. Доказать, что середины оснований, точка пересечения боковых сторон и точка пересечения диагоналей трапеции лежат на одной прямой.

34. Проективное преобразование, сопоставляющее точкам с барицентрическими координатами аналогичные точки с трилинейными координатами. [5]

1.

35. Ориентированное расстояние от точки до прямой линии в координатной плоскости. Общая теорема линейности.

1. Пусть прямая на координатной плоскости задана уравнением: . Тогда расстояние от точки до этой прямой вычисляется по формуле: . Назовем ориентированным расстоянием от точки до прямой величину: . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из этих полуплоскостей число равно расстоянию от до прямой , взятому со знаком «плюс». В другой полуплоскости равно расстоянию от до прямой , взятому со знаком «минус». Отметим, что «положительную» и «отрицательную» полуплоскости легко поменять местами, изменив знак в уравнении прямой на противоположный.

36. Критерий параллелограмма: если сумма расстояний от любой внутренней точки четырехугольника до его сторон одинакова, то этот четырехугольник – параллелограмм. Критерий правильного треугольника: если сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его сторон одинакова, то этот треугольник правильный.

1.