Учебное пособие

Элементарная математика (дополнительные главы)

Исаев И.М.

Вопросы к экзамену по элементарной математике (4 курс, геометрия)

1. Замечательные точки в треугольнике .

Доказать, что медианы (биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке. [7,8,9]

1. Доказать, что медианы треугольника делят площадь треугольника на 6 треугольников равной площади.

2. Доказать, что из медиан треугольника можно составить треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к площади исходного треугольника.

3. Доказать, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

4. Найти множество точек равноудаленных от концов отрезка.

5. Найти множество точек равноудаленных от сторон угла.

6. Доказать, что вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

7. Доказать, что медианы (биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке. Эти точки обозначаются буквами , соответственно, и называются центром тяжести (центроидом), центром вписанной окружности (инцентром), ортоцентром и центром описанной окружности треугольника.

8. Доказать, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении равном отношению соответствующих боковых сторон. Это свойство называется основным свойством биссектрисы.

9. Доказать, что биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении равном отношению соответствующих боковых сторон. Это свойство называется основным свойством биссектрисы внешнего угла треугольника.

10. В треугольнике проведены биссектрисы внутренних углов ( - на сторонах треугольника). Известно, что . Найдите .

11. Доказать, что для треугольника существуют четыре окружности, касающиеся прямых . Что это за окружности? Где находятся центры этих окружностей?

2. Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].

1. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине этого основания.

2. Доказать, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

3. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

4. Пусть - медиана треугольника . Докажите, что .

5. В четырехугольнике точка - середина стороны , точка - середина стороны . Докажите, что .

6. Доказать, что четырехугольник, образованный последовательными серединами сторон данного четырехугольника, является параллелограммом. Найти отношение площади этого параллелограмма к площади исходного четырехугольника. Не забудьте рассмотреть случай невыпуклого четырехугольника.

7. Доказать, что средние линии четырехугольника точкой пересечения делятся пополам.

8. Докажите, что прямые, содержащие диагонали четырехугольника, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда отрезки соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

9. Найдите площадь выпуклого четырехугольника , если прямая перпендикулярна прямой и

10. Дан треугольник . Точка лежит на продолжении стороны за точку , причем . Аналогично строятся точки и . Найти отношение площадей треугольников и .

11. Точка лежит внутри треугольника . Докажите, что площади треугольников и равны тогда и только тогда, когда лежит на медиане .

12. Диагонали трапеции пересекаются в точке . Докажите, что площади треугольников и равны.

13. В два противоположных угла четырехугольника вписываются два параллелограмма. Три вершины каждого из этих параллелограммов – середины смежных сторон и вершина исходного четырехугольника . Доказать, что четвертая вершина этих параллелограммов является общей.

14. Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

15. Четырехугольник составлен из двух равнобедренных прямоугольных треугольников и . Пусть - четырехугольник, образованный последовательными серединами сторон . Доказать, что - квадрат.