Шпоры / Шпоры(МП-23_edition) / 06
.doc6. Образование энергетических зон. Энергетический спектр электрона в кристалле определяется законом дисперсии . В силу однозначности функции в пределах ее периода число разрешенных значений энергии будет равно N - числу физически различных значений квазиволнового вектора в 1-й зоне Бриллюэна. Интервал энергий, в пределах которого изменяется значение , называется энергетической зоной. Максимальное значение в зоне называется потолком зоны, а минимальное значение - дном зоны.
Поскольку число атомов в кристалле велико и составляет величинe ~1022- 1023см-3, расстояние между энергетическими уровнями в зоне мало. Спектр энергии электронов внутри зоны можно считать квазинепрерывным.
Проведенный анализ не раскрывает физического механизма образования зон. Для его понимания обсудим качественную картину, возникающую при образовании кристалла из изолированных атомов.
Рассмотрим гипотетический кристалл, состоящий из N атомов, расстояние между которыми во много порядков раз превышает параметр решетки а реального кристалла, - "растянутый" кристалл (рис.2.4,а). Атомы такого кристалла можно считать изолированными друг от друга. Внутри каждого из них потенциальная энергия электрона в поле положительного иона с зарядом Ze определяется как , где - электрическая постоянная.
Системы атомных дискретных уровней энергии всех атомов тождественны. При этом состояние электрона в каждом атоме определяется набором четырех квантовых чисел: , , , , где - главное квантовое число; - орбитальное квантовое число; - магнитное квантовое число; - спиновое квантовое число. Согласно принципу Паули внутри атома в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона.
Начнем сближать атомы до расстояния, определяемого параметром решетки а. Силовые поля отдельных атомов начинают перекрываться, в результате чего образуется периодический потенциал решетки (рис.2.4,б).
Перекрываются также и волновые функции электронов, локализованных на дискретных энергетических уровнях соседних атомов.
Рассмотрим какой-нибудь уровень энергии (рис. 2. 4, б). Электрон, находящийся на этом уровне в каком-либо атоме, отделен от соседнего атома потенциальным барьером. Ширина барьера составляет величину порядка 1А, поэтому вследствие перекрытия волновых функций велика вероятность квантово-механического туннелирования электрона через этот барьер и перехода его к соседнему атому. В результате электрон уже не связан с определенным атомом решетки, а получает возможность перемещаться по всему кристаллу, т.е. электроны коллективизируются.
Другим следствием перекрытия волновых функций электронов является расщепление энергетического уровня на N энергетических уровней, образующих энергетическую зону. Для электронов внутри зоны выполняется принцип Паули, и состояние каждого электрона описывается своим набором квантовых чисел: , , , .
Рассмотренная качественная картина образования энергетических зон лежит в основе приближенного решения уравнения Шредингера (2.1) методом сильносвязанных электронов.
Рис.2.4. Силовое поле "растянутого" кристалла (а) и периодический потенциал решетки (б)
Металлы, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории. Представление о разрешенных и запрещенных энергетических зонах позволяет объяснить различие свойств металлов, диэлектриков и полупроводников. Проведем эту классификацию, исходя из структуры энергетических зон кристаллов и заполнения их электронами.
При образовании кристалла расщепляются все атомные энергетические уровни - и содержащие электроны, и возбужденные уровни, на которых нет электронов. Если атомный уровень невырожден, то в энергетической зоне, полученной от его расщепления, содержится N уровней, на каждом из которых могут находиться два электрона с противоположными спинами. Таким образом, общее число квантовых состояний в зоне равно 2N.
Если энергетический уровень g-кратно вырожден, то он расщепляется на g подзон, каждая из которых содержит 2N состояний, т.е. всего образуется 2Ng состояний.
При перекрытии зон число состояний в них суммируется.
Заполнение образовавшихся энергетических зон электронами при Т=0 происходит таким образом, чтобы энергия системы была минимальна, поэтому электроны заполняют прежде всего низкорасположенные зоны. Если зона образовалась от расщепления невырожденного и полностью заполненного уровня, то и она оказывается полностью заполненной. В этом случае 2N электронов полностью заполняют 2N состояний в зоне. Если на исходном атомном уровне находился один электрон, то и образовавшаяся зона будет заполнена лишь наполовину.
Аналогичная ситуация возникает и при заполнении подзон, порожденных расщеплением вырожденного уровня. Если этот уровень заполнен полностью, то будут заполнены и все подзоны. Если вырожденный уровень заполнен неполностью, то некоторые подзоны могут оказаться частично заполненными или пустыми.
Образование неполностью заполненных зон может быть обусловлено также перекрытием пустых и полностью заполненных зон и подзон, образовавшихся от расщепления разных атомных уровней.
Самая верхняя разрешенная зона, в которой при Т= О имеются заполненные энергетические уровни, называется валентной зоной. Она образуется или при расщеплении валентного уровня атома, или при наложении зон, в котором принимает участие хотя бы одна подзона, полученная от расщепления валентного уровня. Потолок валентной зоны обозначается через .
Энергетическая зона, расположенная выше валентной и отделенная от нее запрещенной зоной, называется зоной проводимости. Ее дно обозначается через . При T=0 зона проводимости пуста, электронов в ней нет.
Электроны полностью и частично заполненных зон по-разному реагируют на приложение электрического поля. В электрическом поле электроны ускоряются и увеличивают свою энергию. На энергетической диаграмме это соответствует переходу на более высокие энергетические уровни. Будем предполагать, что электрическое поле слабое и электроны могут переходить только на близлежащие энергетические уровни внутри зоны. Однако в полностью заполненной зоне все состояния заняты, и такие переходы запрещены принципом Паули. Следовательно, электроны полностью заполненной зоны не могут участвовать в электропроводности. Для того чтобы возникал электрический ток, должна иметься хотя бы одна неполностью заполненная зона.
Твердые тела, валентная зона которых при Т=0 заполнена неполностью, называются металлами. Например, у щелочных металлов Li, Na, K на валентном s-уровне находится один электрон. При расщеплении этого уровня образуется наполовину заполненная валентная зона (рис.2.10).
У щелочноземельных металлов Ве, Мg, Са неполностью заполненная валентная зона возникает в результате перекрытия полностью заполненной зоны, образовавшейся от расщепления валентного s-уровня, и пустой зоны, возникающей от расщепления р-уровня (рис.2.11).
Если при Т= 0 валентная зона заполнена полностью, а зона проводимости, отделенная от нее запрещенной зоной, пуста, то такие кристаллы являются либо диэлектриками, либо полупроводниками (рис.2.12). При Т=0 данные кристаллы не могут проводить электрический ток. Однако при Т>0 за счет теплового возбуждения электроны могут перебрасываться из валентной зоны в зону проводимости. В результате и зона проводимости, и валентная зона оказываются заполненными неполностью, и электроны этих зон могут участвовать в проводимости.
Проводимость чистых диэлектриков и полупроводников называют собственной проводимостью. При данной температуре ее величина определяется шириной запрещенной зоны. Данный факт лежит в основе формального деления твердых тел на диэлектрики и полупроводники. Обычно к диэлектрикам относят твердые тела, у которых >3 эВ, а к полупроводникам те, у которых < 3 эВ.
Однако такое деление не учитывает важной особенности полупроводников, отличающих их от диэлектриков. Она заключается в сильной зависимости проводимости полупроводников от наличия примесей. Например, добавление в чистый кремний атомов бора в соотношении один атом бора на 10 атомов кремния увеличивает проводимость кремния при комнатной температуре в тысячу раз по сравнению с собственной. В то же время примеси мало влияют на проводимость диэлектриков.
В указанную классификацию хорошо укладываются важнейшие полупроводники Gе (= 0,72 эВ), Si ( = 1,21 эВ) и GаАs ( = 1,43 эВ). В то же время кристаллы алмаза (углерод) С (= 5,48 эВ), АIN (= 6,28 эВ), ZnS (= 3,84 эВ) и многих других веществ также являются полупроводниками, хотя ширина их запрещенной зоны превышает 3 эВ.
Рис. 2.10. Заполнение энергетических зон в кристалле лития
Рис.2.11. Заполнение энергетических зон в кристалле бериллия
Рис.2.12. Схематическое представление зонной структуры полупроводников и диэлектриков