Шпоры / Шпоры(МП-23_edition) / 10
.rtf10. МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
При рассмотрении движения носителей заряда в идеальном периодическом поле кристаллической решетки было установлено, что электроны и дырки движутся как свободные частицы. В реальном кристалле электроны и дырки совершают сложные траектории движения вследствие соударений с дефектами решетки. Поскольку дефекты, искажающие периодичность поля решетки и являющиеся центрами рассеяния, имеют разную природу, то они будут обусловливать и различные механизмы рассеяния носителей заряда. В полупроводниках центрами рассеяния могут быть тепловые колебания решетки и статические дефекты, такие как атомы и ионы примеси, вакансии, дислокации, границы двойников и кристаллитов. Для количественной оценки процесса рассеяния вводится параметр а, называемый эффективным сечением рассеяния.
Предположим, что имеется п свободных электронов, которые со средней тепловой скоростью Vо движутся в данном направлении. Тогда пV0 есть плотность потока электронов, т. е. количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку образца, перпендикулярную направлению их скорости. Допустим, что на пути потока электронов в единичном сечении образца имеется N одинаковых центров рассеяния. Каждый центр характеризуется эффективным сечением, равным у. Это, по существу, то пространство вокруг центра, в области которого имеет место рассеяние электронов. Поэтому количество рассеянных электронов в единицу времени п, определяется эффективным сечением у, количеством центров рассеяния N и плотностью падающего потока электронов nV0, т. е.
n1=уNnV0 (1)
Если W — вероятность рассеяния одной частицы в единицу времени, то количество рассеянных электронов в единицу времени п1 есть
n1=Wn (2)
Тогда на основании (1) и (2) можно написать
у=n1/NnV0 (3)
Таким образом, эффективное сечение рассеяния о есть отношение числа электронов, удаленных из пучка в результате рассеяния на одном центре в единицу времени, к плотности падающего пучка частиц. Эффективное сечение рассеяния имеет размерность площади
[у]=[W]/[NV0]=T-1/L-3LT-1=L2 (3)
Из формулы (3) найдем, что вероятность рассеяния
W=уNV0 (4)
Следовательно, вероятность рассеяния или вероятность столкновения определяется эффективным сечением, количеством центров рассеяния и скоростью движения носителя заряда.
В то же время вероятность столкновения обратно пропорциональна времени свободного пробега:
W=1/ф (5)
Поэтому время свободного пробега и длину свободного пробега можно выразить через эффективное сечение. Из (4) и (5) следует, что
ф=1/уNV0 (6)
или
l=1/уN
Величина l-1=уN есть вероятность рассеяния на единичном интервале пути.
Рассмотрим случай, когда имеются различные центры рассеяния. Пусть 1-й центр характеризуется эффективным сечением уi, и число таких центров равно Ni. Механизм рассеяния на этих центрах определяет длину свободного пробега li. Если все процессы рассеяния возможны, то согласно теории вероятности полная вероятность рассеяния в единицу времени будет определяться суммой отдельных вероятностей рассеяния
W=УWi(8)
Так как УуiNi то полная длина свободного пробега согласно (4) и (8) может быть определена из соотношения
l-1=Уl-1i (9)
Согласно (9) полная длина свободного пробега всегда меньше самой малой парциальной длины свободного пробега.
Поскольку роль дефектов в процессе рассеяния носителей заряда различна, поэтому различные дефекты должны иметь разное эффективное сечение. Для их количественной оценки за эффективное сечение рассеяния а примем площадку, в пределах которой возможно взаимодействие между носителем заряда и дефектом.
Такие дефекты, как вакансии, междуузельные атомы, во многих отношениях сходны с примесями замещения. Эти дефекты называются точечными дефектами. Для них за 0 можно принять площадь квадрата со стороной, равной постоянной решетки, т. е. уА=(5*10-8)2=3*1О-15см2. Если предположить, что концентрация атомов примеси NА=1016см-3, то длина свободного пробега при рассеянии носителей заряда на атомах примеси будет составлять lА=(3*10-15*10-16)-1=3*10-2см=300мкм.
Для иона примеси будем считать, что его диаметр в 10 раз больше диаметра примесного центра, т.е. у1=(5*10-8*10)2=3*10-13см2. В случае, если N1=1016см-3, то l1=3*10-4см=3мкм.
Дислокации являются линейными дефектами, простирающимися на большие области кристалла. Предположим, что линейная дислокация имеет длину 0,1 см, а ее диаметр измеряется сотней периодов решетки. В этом случае площадь ее осевого сечения равна 5*10-8X100*10-1=5*10-7 см2. При объемной плотности дислокаций Nд=108см-3 длина свободного пробега будет порядка lО=2*10-2см=200мкм.
Границы двойников и кристаллитов, а также дефекты упаковки представляют собой двумерные нерегулярности. Они имеют место в блочных кристаллах и поликристаллических образцах.
Эффективное сечение рассеяния на тепловых колебаниях решетки определяется площадью сечения области, которую занимает колеблющийся атом за вычетом площади сечения самого атома. Если считать, что амплитуда колебаний порядка r=0,05нм=5*10-9 см, а диаметр атома d =10-8см, то уТ=(d+r)2-d2=2rd=10-16см2. Это значение много меньше, чем для других центров рассеяния, но число колеблющихся атомов велико: NT=1022см-3, поэтому lT = 10-6см = 0,01 мкм.
Как оказывается, описание процессов рассеяния при помощи времени релаксации возможно, если столкновения частиц упругие, т. е. такие, при которых энергия носителя заряда мало изменяется, и если процессы рассеяния приводят к случайному распределению носителей заряда по скоростям, т. е. имеет место равновероятное рассеяние носителей заряда по всем направлениям.
Допустим, что в момент времени t = 0 на систему, описываемую неравновесной функцией распределения f, перестали действовать внешние возмущения (выключаются поля) и полевой член обращается в нуль. В результате процессов соударений система придет в равновесное состояние, описываемое равновесной функцией распределения f0. Это значит, что после выключения внешнего поля функция распределения изменяется благодаря наличию соударений электронов с дефектами решетки:
df/dt=(df/dt)ст (1)
В том случае, когда отклонение распределения носителей заряда от равновесного состояния невелико, можно положить, что в отсутствие внешних полей скорость изменения функции распределения вследствие соударений пропорциональна величине отклонения функции от равновесия, т. е. пропорциональна f - f0:
df/dt=(df/dt)ст=(f-f0)/ф(k) (2)
где 1/ф(к) - коэффициент пропорциональности, зависящий от к. Решая уравнения (2), получаем:
f-f0=(f-f0)t=0e-t/ф (3)
Из (3) следует, что после прекращения действия внешних полей разность (f—f0) уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной времени х, которая носит название времени релаксации. Следовательно, ф есть среднее время, в течение которого в системе существует неравновесное распределение носителей заряда после снятия внешних полей.