Шпоры / Шпоры(МП-23_edition) / 04

4. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле (2.1): отличается от уравнения Шредингера для свободного электрона (1.3): наличием периодического потенциала решетки U(r)

Предположим, что вместо уравнения (2.1) можно записать эквива­лентное ему уравнение: (2.7), в котором отсутствует периодический потенциал решетки, а его влия­ние учитывается путем введения некоторой неизвестной величины m^*_n ,имеющей размерность массы.

Закон дисперсии, получаемый из решения уравнения (2.7), имеет вид, аналогичный закону дисперсии для свободного электрона (1.5): E()= (2.8) т.е. энергия квадратично зависит от вектора .

В то же время, как было рассмотрено выше, зависимость Е() , по­лучаемая из решения уравнения (2.1), является некоторой периодиче­ской функцией вектора . Таким образом, уравнение (2.1) можно пред­ставить в виде (2.7) только для тех областей спектра электрона, где его энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора . Рассмотрим на примере одномерного кристалла, когда это имеет место.

Закон дисперсии для электрона в одномерном кристалле представ­ляет собой периодическую функцию, имеющую экстремумы вблизи по­толка и дна разрешенной зоны. В силу симметрии зоны Бриллюэна в центре ее всегда имеется экстремум энергии. Разложим функцию Е(k) в ряд Тейлора вблизи точки к = 0 и ограничимся квадратичным членом разложения: E(k)=E(0)+.

По определению экстремума = 0. Принимая за начало отсчета энергии величину Е(0), получаем E(k)= (2.9)

Сравнивая выражения (2.8) и (2.9), можно видеть, что они совпадают, если в качестве m^*_n взять величину

(2.10) Величина m^*_n называется эффективной массой электрона.

Таким образом, уравнение (2.7) оказывается справедливым для электронов, находящихся вблизи экстремумов энергии, т.е. вблизи дна и потолка разрешенной зоны. Движение таких электронов в кристалле можно рассматривать как движение свободных электронов, если припи­сать электрону массу m^*_n, отличную от массы свободного электрона m.

Рассмотрим трехмерный случай, полагая при этом, что экстремум энергии находится в некоторой точке ₀ зоны Бриллюэна. Разлагая функцию Е() в ряд и ограничиваясь квадратичными членами разложения, получаем

E()=E()+=E(₀)+

(2.11) где а,b независимо могут принимать значения х, у, z, а выражение =

определяет тензор обратной эффективной массы. Поскольку велична второй производной не зависит от порядка дифференцирования, тензор симметричен: m_ab = m_ba. Симметричный тензор в главных осях

приводится к диагональному виду, при котором все члены, не стоящие на главной диагонали, обращаются в нуль: ==

Таким образом, и в общем случае вблизи точки экстремума энергия квадратично зависит от квазиволнового вектора, и электрону можно приписать эффективную массу. Однако в отличие от одномерного в общем случае эффективная масса зависит от направления движения электрона и характеризуется тремя компонентами тензора эффективной массы: m, m , m Используя диагональный вид тензора обратной Эф­фективной массы, разложение (2. 11) можно записать в виде

E()-E()=

Для Е()=const это есть уравнение изоэнергетической поверхности, которая представляет собой эллипсоид, полуоси которого определяются компонентами тензора эффективной массы.

Для многих кристаллов, например, для германия и кремния, = =, = и изоэнергетическая поверхность представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси к_z :

E()-E()=. Компоненты и называют в этом случае поперечной и про­дольной эффективными массами.