Глава 4. Основы теории размерностей и подобия. Моделирование явлений переноса

§ 4.1. Понятие о физическом подобии и моделировании

Задача 4.1.1. Рассчитать распределение температуры в длинном стальном валу диаметром 400 мм через время= 2,5 ч после загрузки его в печь. Заданы коэффициентыa= 1,1810^–5м²/с и= 116 Вт/м²·С. Провести измерение температуры на валу не представляется возможным. Исследование решено проводить в меньшей печи на физической модели вала при более низких температурах.

Определить диаметр модели d_ми время_м, через которое необходимо производить измерение, соответствующее времени. Выбрать материал модели и рассчитать коэффициент для перерасчета измерений температуры в реальную температуру на валу.

Ответ:d_м= 118 мм,_м= 0,42 ч,t= 5t_м.

Указания к решению:взять из справочника_стали= 42 Вт/м·С.Основное условие при моделировании - физическое подобие процесса, т.е. для оригинала и модели определяющие критерии должны быть равны. В данном случае - нестационарном процессе теплопроводности - такими критериями будут числа Bi и Fo:

; .

Выбрать материал модели с меньшим _м= 16 Вт/м·С (легированная сталь),a_м= 1,1810^–5м²/с, задать условия теплообмена в меньшей печи_м= 150 Вт/м²·С. Из условия Bi = Bi_мопределить размеры модели, а из условия Fo = Fo_м- время измерения на модели. Коэффициент для пересчета температуры на модели в реальную температуру на валу получается из условия=_м.

Задача 4.1.2.Шары из легированной стали, диаметромd= 100 мм, нагретые до температурыt₀= 600C, погружают в закалочную масляную ванну с температуройt_ж =200C. Смоделировать этот процесс на увеличенной модели, охлаждаемой воздухомt_жм= 20C, для определения времени, необходимого для закалки шаров.

Определить материал и диаметр модели, если конечная температура на поверхности шара t_к= 300C.

Ответ:d_м= 40 мм.

Указания к решению:найти коэффициенты= 16 Вт/м·С,a= 0,5310^–5м²/с,= 100 Вт/м²·С. Выбрать материал модели и определить условия ее охлаждения_м= 1,28 Вт/м·С (бетон), С_м= 0,31 кДж/кгС,_м= 10 Вт/м²·С. Решение проводится аналогично решению задачи 4.1.1.

§ 4.2. Использование методов подобия для приведения уравнений к безразмерному виду

Задача 4.2.1.Привести к безразмерному виду зависимость плотности теплового потока от температурного напора и термического сопротивления в тонкой пластине методом анализа размерностей.

Ответ:в результате получена полуэмпирическая зависимость, где константаСопределяется экспериментально.

Указания к решению:определить полный список определяющих параметров

и сгруппировать их по одинаковым размерностям. Определить независимые размерности. Записать функцию в новых независимых единицах измерения:

Выбрать A_iтакими, чтобы в функции осталось как можно меньше членов, зависящих от чего-либо:

Записать функцию в новом виде и исключить константы:

Задача 4.2.2.Методом анализа размерностей найти зависимость в безразмерном виде коэффициента теплоотдачи для конвективного теплообмена при вынужденной конвекции в стационарном режиме от определяющих их параметров, выразить этот коэффициент через все параметры.

Ответ:, где константаCи показатели степениn, kиp_iопределяются экспериментально.