§ 2.2. Задачи для стенки тонкой трубы

Рис.2.15.

Тепловая нагрузка одного погонного метра трубы определяется как , размерность этой величины - ккал/мч, Вт/м.

Тогда через все изотермические поверхности проходит постоянное количество тепла q_l, в то время как q₁ > q₂ и уменьшается с увеличением радиуса r (рис.2.15).

Условие тонкости трубы: r₁, r₂ << h; q₁ > q₂.

Задача 1. Определить стационарное поле температуры и тепловую нагрузку стенки тонкой длинной трубы для граничных условий 1-го рода (рис.2.16).

Рис.2.16.

Задано: r₁, r₂, l >> r₂, r, d₂ << 0,1 l, l, t_c1, t_c2. Все величины - const; l - длина трубы.

Найти: t(r), q_l.

; ; .

- тепловая нагрузка на внутреннюю поверхность; - внутреннее термическое сопротивление трубы R_{терм.внутр}.

Поле температуры для трубы без внутренних источников тепла:

или , где , - относительный (безразмерный) радиус.

Задача 2. Решить задачу 1 при условии  = (t).

;

;

И

так, ; .

Обобщение: если на поверхности тела любой формы с переменными  = (t) заданы только две температуры: t_c1 и t_c2, то расход тепла через это тело можно рассчитать при постоянном значении , равном среднеинтегральному в интервале t_c1 - t_c2.

Задача 3. Определить стационарную тепловую нагрузку стенки длинной трубы для граничных условий 3-го рода (рис.2.17).

Задано: r₁, r₂, t_ж1, t_ж2, t_ж1 > t_ж2, (l, ₁, ₂ - const).

Рис.2.17.

Найти: q₁ = ?

(разделим на d₁),

- на внутренней поверхности радиусом r₁,

- внешнее термическое сопротивление внутренней стенки тру- бы R_внешн.1;

- внешнее термическое сопротивление внешней стенки тру- бы R_внешн.2;

- полное термическое сопро- тивление трубы.

Сравните с ребристой тонкой стенкой .

Задача 4. Определить внешний критический диаметр трубы d_крит (рис.2.18).

Рассмотрим функцию

состоящую из трех слагаемых и имеющую минимум.

Рис.2.18.

Так как ₁, ₂, , d₁ - const, а значение d₂ - Var, решим задачу на экстремум:

;

или

-

число Био критическое, т.е. d_kp зависит от  и ₂.

Изменяя d₂ и ₂, получим три возможных случая:

1) d_кр > d₁; 2) d_кр = d₁; 3) d_кр < d₁.

Рис.2.19.

Рис.2.20.

Если нет возможности изменить d₁, можно сдвинуть кривую, изменив  (рис.2.19), т.е. выбрать другой материал тепловой изоляции.

Задача 5. Определить поле температуры внутри трубы с внутренними источниками тепла с граничными условиями 1-го рода (рис.2.20).

Задано: r₁, r₂, t_c1, t_c2, q_v,  = const.

Найти: t = t(r), r₀, t_max; .

Решаем уравнение

;

Представим изотермическую поверхность радиусом r слева от r₀ и запишем количество тепла, прошедшее через нее:

;

проинтегрируем

;

получим ;

аналогично для правой области получаем для t = t(r):

.

Контрольные вопросы и задача

1. Зачем при расчете теплопроводности в стенке трубы вводится понятие тепловой нагрузки погонного метра трубы?

2. Какие конструктивные параметры следует изменить, если оказывается, что потери тепла от цилиндрического паропровода увеличены, несмотря на увеличение толщины теплоизоляции?

3. Определить расчетом стационарную тепловую мощность, отводимую от стенки цилиндрического реактора с многослойной теплоизоляцией, если известна температура внутри реактора, а снаружи он охлаждается вынужденным потоком газа или жидкости. Как на этот расчет повлияет величина диаметра реактора?

4. Показать расчетом, что для тонкого паропровода (d = 10 - 20 мм), теплоизолированного асбестом, возможно увеличение тепловых потерь по сравнению с неизолированным. Как оптимизировать конструкцию, чтобы избежать конденсации пара внутри него?

Задача. Электропровод диаметром d₁ = 1,5 мм имеет температуру t_c1 = 70 C и охлаждается потоком воздуха с температурой t_ж = 15 C. Коэффициент теплоотдачи от поверхности провода к воздуху ₁ = 16 Вт/(м²С). Определить температуру , которую будет иметь провод, если его покрыть каучуковой изоляцией толщиной  = 2 мм, а силу тока в проводе оставить без изменений. Коэффициент теплопроводности каучука  = 0,15 Вт/(мС). Коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к потоку воздуха ₂ = 8,2 Вт/(м²С).

Задача 2.2.1. По теплоизолированной трубке передается от испарителя к реактору парогазовая смесь с температурой t_ж1 = 100 C, t_конд = 95 С. Внутренний диаметр трубки d₁ = 18 мм, внешний d₂ = 20 мм. Трубка изолирована листовым асбестом толщиной 2 мм.

Сравнить тепловые потери от трубки в окружающую среду для вариантов:

а) трубка без изоляции;

б) трубка изолирована асбестом.

Ответ: при изоляции асбестом потери возрастают, а не уменьшаются: .

Указания к решению: выбрать из справочника , предварительно рассчитав  и приняв, что температура окружающей среды t_ж2 ‑ комнатная: _асб = 0,15 Вт/мС; _ст = 16 Вт/мС при t = 90 С; ₂ = 8 Вт/м²С, ₁ = 100 Вт/м²С, t₂ = 20 C.

Определить критический диаметр и потери по формулам стенки тонкой трубы:

;

;

.

Задача 2.2.2. Стальная трубка с диаметрами d₁ = 100 мм и d₂ = 110 мм покрыта изоляцией в два слоя: ₂ = ₁ = 50 мм. Температура внутренней поверхности трубы t_с1 = 250 С, температура внешней поверхности t_с4 = 50 С. Найти потери тепла через изоляцию с одного погонного метра трубы и определить температуру на границе соприкосновения слоев изоляции, если первый слой изоляции, покрывающий поверхность трубы, имеет теплопроводность ₂ = 0,06 Вт/мС, а второй слой - ₃ = 0,12 Вт/мС (_стали = ₁ = 50 Вт/мС).

Сравнить потери, поменяв местами слои изоляции.

Ответ: потери q_l  90 Вт/м, t_c3  96 C; для второго случая потери тепла составили 105 Вт, а температура на границе слоев увеличилась до 159 С, т.е. первый вариант предпочтительнее.

Указания к решению: использовать формулу для многослойной цилиндрической стенки:

.

Тепловые потери с одного погонного метра трубы q_l равны:

, , ;

а температура на границе t_c3:

.

Аналогично, если поменять местами слои теплоизоляции.

Задача 2.2.3. Электропровод диаметром d₁ = 1,5 мм имеет на своей поверхности температуру t_с1 = 70 С. Он охлаждается потоком воздуха при естественной конвекции. Температура воздуха t_ж2 = 15 С. Коэффициент теплоотдачи от провода к воздуху ₂ = 16 Вт/м²С.

Определить температуру поверхности провода t_с1, если он покрыт резиновой изоляцией толщиной  = 2 мм, а ₂ = 8,2 Вт/м²С.

Ответ: температура понижается до t_с1 = 50 С.

Указания к решению: критический диаметр для этого случая равен .

Тепловая нагрузка для обоих случаев одинакова, так как по проводу проходит одинаковый ток . Составить систему уравнений:

;

;

Задача 2.2.4. Железобетонная дымовая труба внутренним диаметром d₁ = 800 мм, наружным d₂ = 1300 мм должна быть футерована внутри огнеупорным материалом.

Определить толщину футеровки  и температуру наружной поверхности трубы при условии, что тепловые потери с одного погонного метра тубы не превысят 2000 Вт/м, а температура внутренней поверхности составляет 425 С. Теплопроводность футеровки и железобетона соответственно ₁ = 0,5 Вт/м·С, ₂ = 1,1 Вт/м·С.

Ответ: толщина футеровки   120 мм, температура наружной поверхности t_с3  60 С.

Указания к решению: использовать формулу для цилиндрической стенки без учета внешних термических сопротивлений:

; .

Подставив d₂ = d₁ + 2, определить :

, где ;

.