Контрольные вопросы и задача

1. Объяснить, почему температура кремниевой пластины большого диаметра, лежащей на охлаждаемом или нагреваемом подложкодержателе, может существенно отличаться от его температуры.

2. Показать сравнительным расчетом, как изменится мощность нагревателя, находящегося внутри водоохлаждаемого реактора в начале процесса и в его конце, когда его внутренняя поверхность покрывается рыхлым слоем оксида Si толщиной порядка миллиметра, а со стороны воды - слоем накипи такой же толщины.

3. Показать расчетом, что в случае появления газового зазора в несколько десятых долей миллиметра между подложкой и подложкодержателем резко изменится температура на поверхности подложки.

4. Определить расчетом, используя дифференциальное уравнение теплопроводности, максимальную температуру внутри плоского нагревателя, наибольший градиент температуры и место, где наблюдаются эти характерные условия.

Задача. Определить стационарное поле температур для тонкой пластины, на поверхности которой заданы граничные условия 1-го рода, а внутри действуют источники тепла q_v (решить соответствующее дифференциальное уравнение).

Задача 2.1.1. Определить потери тепла через кирпичную стену длиной l = 5 м, высотой h = 3 м и толщиной  = 0,25 м, если температура внешней поверхности t_с2 = 4 С, температура внутренней поверхности t_с1 = 25 С.

Ответ: Q  970 Вт.

Указания к решению: выбрать из справочника для температуры, средней между t_с1 и t_с2, теплопроводность кирпича:  = 0,77 Вт/мС. Плотность теплового потока берется как отношение температурного напора к внутреннему термическому сопротивлению:

,

и из соотношения определить потери тепла Q.

Задача 2.1.2. В тех же условиях рассчитать потери тепла, если стена состоит из трех слоев: кирпича, утеплителя и бетона, толщины которых равны соответственно: ₁ = 0,15 м, ₂ = 0,1 м, ₃ = 0,1 м. Определить температуры на границах слоев теплоизоляции t_сi.

Ответ: Q  150 Вт, т.е. потери существенно ниже, чем в задаче 2.1.1; t_с2  24 C, t_с3  5,5 C.

Указания к решению: коэффициенты теплопроводности _i берутся из справочника: ₁ = 0,77 Вт/мС; ₂ = 0,055 Вт/мС; ₃ = 1,28 Вт/мС. Решение проводится аналогично решению задачи 2.1.1 с тем отличием, что при нахождении плотности теплового потока используется полный температурный напор и полное термическое сопротивление как сумма термических сопротивлений каждого слоя:

.

Температура на границах слоев определяется из условия :

,

где R_Ti - внутреннее термическое сопротивление слоя.

Задача 2.1.3. В технологической печи внутренняя температура 1400 °С, наружная 35 °С. Футеровка печи сделана из огнеупорного кирпича, ее толщина 0,1 м. Слой асбеста составляет 0,05 м. Кожух печи - стальной лист толщиной 0,01 м. Площадь поверхности печи 10 м².

Определить мощность нагревателя для такой печи W, если конструкция печи - близкие к тонкой стенке элементы.

Ответ: W  Q = 4100 Вт.

Указания к решению: мощность нагревателя в рабочем режиме компенсирует тепловые потери, т.е. их необходимо рассчитать аналогично предыдущей задаче. Коэффициенты теплопроводности выбрать при средней температуре слоев методом последовательных приближений.

Задача 2.1.4. В диффузионной термической установке кремниевые пластины располагаются на нагревателе, имеющем форму плоской пластины длиной l = 1,5 м, шириной h = 0,3 м, толщиной  = 510^–3 м. Материал, из которого выполнен нагреватель, - графит. Электрические параметры нагревателя в рабочем режиме: I = 150 A, U = 100 В. Рабочая температура на поверхности нагревателя t_с1­ = 1100 С, температура на нижней поверхности t_с2 = 400 С.

Определить максимальную температуру нагревателя и наибольший градиент температуры.

Ответ: ,  .

Указания к решению: взять из справочника _{графита} = = 163  0,041t Вт/мС.

Определить мощность внутренних источников тепла:

;  .

Решение выполнить для случая тонкой пластины с внутренними источниками в форме безразмерной температуры:

,

где  выбирается для средней температуры.

Найти безразмерную координату, соответствующую максимуму температуры.

Наибольший безразмерный градиент равен:

.

Задача 2.1.5. Определить стационарное поле температур в тонкой пластине при наличии внутренних источников тепла и симметричных граничных условий третьего рода. Известна толщина пластины , теплопроводность , коэффициент теплоотдачи с поверхности , температура среды t_ж и мощность внутренних источников тепла q_V.

Ответ: .

Указания к решению:

; .

Уравнение теплопроводности имеет вид:

     .

Граничные условия имеют вид:

, т. к. ;

; ;

; ;

.

Из последнего выражения найти С₂ и окончательно определить вид функции t(x):

;

перейдя к разностной температуре t(x) – t_ж, можно получить:

.

Делением на комплекс , имеющий размерность температуры, получается безразмерное температурное поле в пластине:

.

Задача 2.1.6. Решено уменьшить в два раза толщину слоя огнеупорного кирпича в стенке технологической печи, рассмотренной в задаче 2.1.3, а между слоями поместить слой засыпки из диатомитовой крошки, имеющей коэффициент теплопроводности _{диатомита} = = 0,133 + 0,00023t Вт/мС.

Какой нужно сделать толщину засыпки, чтобы при той же температуре на внешних поверхностях стенки, что и в задаче 2.1.3, потери тепла остались неизменными?

Ответ: толщина диатомитовой засыпки 94 мм.

Указания к решению: cначала рассчитывают тепловую нагрузку по условиям задачи 2.1.1, затем температуру на границах диатомитовой засыпки и красного кирпича. Из рассчитанной температуры на границах засыпки находят среднее значение теплопроводности диатомитовой засыпки, исходя из которого - толщину засыпки. Используют расчетные формулы для пакета тонких пластин из задачи 2.1.2.

Задача 2.1.7. В приборе для определения коэффициента теплопроводности материалов между горячей и холодной плоскими поверхностями расположен образец испытуемого материала. Образец представляет собой пластину диаметром 120 мм и толщиной 20 мм. Температура горячей поверхности t_с1 = 180 C, холодной поверхности t_с2 = 30 C. Тепловой поток через образец после установления стационарного процесса Q = 50,6 Вт. Благодаря защитным нагревателям радиальные потоки отсутствуют. Вследствие плохой пригонки между холодной и горячей поверхностями и пластиной образовались воздушные зазоры толщиной _в = 0,1 мм.

Какова относительная ошибка в определении коэффициента теплопроводности, если при обработке результатов измерений не учитывать образовавшихся зазоров? Коэффициент теплопроводности воздуха в зазорах отнести к температурам соответствующих поверхностей t_с1 и t_с2.

Ответ: относительная ошибка в определении  составит _  21.

Указания к решению: относительная ошибка представляет собой разницу между двумя рассчитанными значениями  (при наличии зазоров и в их отсутствии), отнесенного к коэффициенту теплопроводности, рассчитанному с учетом наличия воздушных зазоров. При этом используется формула для пакета тонких пластин из задачи 2.1.2, а воздушные зазоры считаются также тонкими пластинами.

Задача 2.1.8. Плоская стенка площадью F = 5 м² покрыта двухслойной тепловой изоляцией. Стенка стальная, ее толщина ₁ = 8 мм, коэффициент теплопроводности ₁ = 46,5 Вт/мС. Первый слой изоляции из асбеста толщиной ₂ = 50 мм, коэффициент теплопроводности которого определяется уравнением: ₂ = 0,144 + 0,00014t Вт/мС. Второй слой изоляции толщиной ₃ = 10 мм представляет собой обмазку на основе глинозема, коэффициент теплопроводности которой ₃ = 0,698 Вт/мС. Температура внутренней поверхности стенки t_с1 = 250 C, а внешней поверхности изоляции t_с4 = 50 C.

Вычислить количество тепла, передаваемого через стенку, температуры на границах слоев изоляции и построить график распределения температуры.

Ответ: тепловой поток через стенку Q = 3170 Вт, температуры на границах слоев теплоизоляции t_с2 = 249 C и t_с3 = 59 C.

Указания к решению: для расчета t_сi применяют формулы задачи 2.1.2 (для пакета тонких пластин), используя понятие среднего значения коэффициента теплопроводности _ср.

Задача 2.1.9. Плоская стена неэкранированной топочной камеры парового котла выполнена из слоя пеношамота толщиной ₁ = 125 мм и слоя красного кирпича толщиной ₂ = 500 мм. Слои плотно прилегают один к другому. Температура на внутренней поверхности топочной камеры t_с1 = 1100 C, а на наружной поверхности t_с3 = 50 C. Коэффициент теплопроводности пеношамота ₁ = 0,28 + 0,00023t Вт/мС, а красного кирпича ₂ = 0,7 Вт/мС.

Вычислить тепловые потери через 1 м стенки топочной камеры и температуру в плоскости соприкосновения слоев.

Ответ: тепловые потери q = 1090 Вт/м², температура t_с2 = 828 C.

Указания к решению: для расчета используют формулы для пакета тонких пластин задачи 2.1.2, коэффициенты теплопроводности выбирают для средних температур слоев методом последовательных приближений.