§ 4.3. Использование методов подобия для приведения уравнений к безразмерному виду

Основными методами приведения зависимости к безразмерному виду являются:

1) метод преобразования масштабов;

2) метод анализа размерностей;

3) метод критериальных отношений.

Пример 1. Привести зависимость нестационарного поля избыточной температурыV=t_жtдля случая нагрева тонкой пластины к безразмерному виду, не решая уравнений.

Используем метод преобразования масштабов.

Математическое описание процесса для нестационарной теплопроводности для избыточной (разностной) температуры V=t_ж–tимеет вид

Задача содержит три переменных: V,x,. Запишем их в безразмерном виде:

.

Величины t,,₀имеют смысл единиц измерения или масштабов температуры, расстояния, времени (заметим, что масштаб₀условиями задачи не задается). Находим, что, и подставляем в математическое описание задачи.

Однако данное решение не может зависеть от масштаба времени ₀, который не входит в математическое описание процесса, т.е. величины, содержащие₀, должны находиться в сочетании, когда₀сокращается; другими словами, в виде произведения: получим:.

Достоинства метода:

1) возможность получения точно таких же безразмерных величин, которые вытекают из аналитического решения;

2) наглядность получения безразмерных величин - виден источник их происхождения (например, Вi из граничных условий 3-го рода; Fо из дифференциального уравнения).

Недостатки метода:

1) необходимо располагать системой дифференциальных уравнений, описывающих процесс;

2) решение сложных задач требует громоздких выкладок и занимает много времени.

Пример 2. Для задачи (пример 1) используем метод анализа размерностей физических величин. Для этого достаточно располагать системой величин, которые определяют изучаемый процесс.

Для нагрева пластины имеем следующую систему связанных между собой величин:

.

1. Запишем единицы измерения всех размерных величин:

[] = с;

[a] = м²/с.

Перейдем к новым независимым единицам измерения:

м' = м/A_e;

с' = с/A_;

град' = С/A_t.

Пока коэффициенты Ачисленно не определены.

2. Группируем их.

3. Выделяем группы с независимыми размерностями.

4. Переходим к новым единицам измерения, связанным с независимыми размерностями.

5. Переписываем функцию в новых единицах измерения:

.

Процесс не зависит от размера единиц, которые были использованы для измерения величин. Поэтому уравнение должно сохранить свою структуру, какими бы ни выбирались коэффициенты А.

Выберем их так, чтобы в уравнении осталось минимальное количество членов:

Рис.4.1.

или -

в этом уравнении неизвестен характер связи между величинами. Поэтому поищем эту связь в виде степенной зависимости:

.

Экспериментальные данные приBi = const и X = const обработаемв логарифмической сетке , тогда, или, т.е.n₁ являетсяtgугла наклона кривой в логарифмических координатах (рис.4.1). После расчетаn₁находим аналогичным образомn₂иn₃. Затем по любой точке на кривой находим значение константыС. Таким образом получаем полуэмпирическую инженерную расчетную зависимость.

Достоинства метода: при исследовании малоизвестных явлений, для которых дифференциальные уравнения еще не составлены, метод размерностей - единственный способ получения безразмерных величин, а также полуэмпирических расчетных обобщающих зависимостей. При этом используется теория подобия и эксперимент.

Контрольные вопросы

1. Получить безразмерную зависимость для нестационарной теплопроводности в тонкой пластине с использованием метода анализа размерностей для зависимости .

2. В чем суть метода преобразования масштабов и его отличие от метода анализа размерностей?

Задача 4.2.1.Привести к безразмерному виду зависимость плотности теплового потока от температурного напора и термического сопротивления в тонкой пластине методом анализа размерностей.

Ответ:в результате получена полуэмпирическая зависимость, где константаСопределяется экспериментально.

Указания к решению:определить полный список определяющих параметров

и сгруппировать их по одинаковым размерностям. Определить независимые размерности. Записать функцию в новых независимых единицах измерения:

.

Выбрать A_iтакими, чтобы в функции осталось как можно меньше членов, зависящих от чего-либо:

.

Записать функцию в новом виде и исключить константы:

.

Задача 4.2.2.Методом анализа размерностей найти зависимость в безразмерном виде коэффициента теплоотдачи для конвективного теплообмена при вынужденной конвекции в стационарном режиме от определяющих их параметров, выразить этот коэффициент через все параметры.

Ответ:, где константаCи показатели степениn, kиp_iопределяются экспериментально.

Указания к решению:определить полный список определяющих параметров

,

где w- скорость потока “на бесконечности”,- кинематическая вязкость [ м²/с ].

Дальнейшее решение выполнить аналогично решению задачи 4.1.1 и привести к функции

,

где (из закона Ньютона-Рихмана).

,

где , , , .

Окончательная зависимость ищется в виде степенной функции

,

где константа Cи показатели степениn, kиp_iопределяются экспериментально.