Пример тепловой модели (использования обратной теоремы).

Нагретый стальной шар погружают в закалочную масляную ванну. Необходимо промоделировать поле температуры при нестационарной теплопроводности в этом шаре на модели, выполненной из бетона и охлаждаемой воздухом.

Образец (сталь)	Модель (бетон)
1= 4,0 c1= 0,1 1 = 7900 d01= 200 мм 1= 500 tж1 = 200 0C t01 = 600 0C	2 = 1,1 c2= 0,27 2= 2300 d02= 276 мм 2= 10 tж2= 100С t02 = 1000C

Так как процесс нестационарной теплопроводности, то безразмерные критерии связаны соотношением

;

.

Используем обратную теорему подобия: Bi₁=Bi₂,

;

, т.е. С_l= 0,725.

Тогда из Fo₁=Fo₂

, так как ;

, t₁= 5t₂+ 100.

Измеряем на моделиr₂ t₂ t₁ при соответствующем значении r₁.

Контрольные вопросы

1. Объяснить различия между прямой и обратной основными теоремами теории подобия.

2. Привести примеры констант подобия из тепловой модели закаливаемого в масляной ванне шара.

3. Как используется -теорема при приведении уравнения к безразмерному виду?

Задача 4.1.1. Рассчитать распределение температуры в длинном стальном валу диаметром 400 мм через время= 2,5 ч после загрузки его в печь. Заданы коэффициентыa= 1,1810^–5м²/с и= 116 Вт/м²·С. Провести измерение температуры на валу не представляется возможным. Исследование решено проводить в меньшей печи на физической модели вала при более низких температурах.

Определить диаметр модели d­_м  и время_м , через которое необходимо производить измерение, соответствующее времени. Выбрать материал модели и рассчитать коэффициент для перерасчета измерений температуры в реальную температуру на валу.

Ответ:d_­м= 118 мм,_м= 0,42 ч,t= 5t_м .

Указания к решению:взять из справочника­_стали= 42 Вт/м·С.Основное условие при моделировании - физическое подобие процесса, т.е. для оригинала и модели определяющие критерии должны быть равны. В данном случае - нестационарном процессе теплопроводности - такими критериями будут числа Bi и Fo:

; .

Выбрать материал модели с меньшим ­_м= 16 Вт/м·С (легированная сталь),a_м= 1,1810^–5м²/с, задать условия теплообмена в меньшей печи_м= 150 Вт/м²·С. Из условия Bi = Bi_мопределить размеры модели, а из условия Fo = Fo_м- время измерения на модели. Коэффициент для пересчета температуры на модели в реальную температуру на валу получается из условия=_м .

Задача 4.1.2.Шары из легированной стали, диаметромd= 100 мм, нагретые до температурыt₀= 600C, погружают в закалочную масляную ванну с температуройt_ж =200C. Смоделировать этот процесс на увеличенной модели, охлаждаемой воздухомt_жм= 20C, для определения времени, необходимого для закалки шаров.

Определить материал и диаметр модели, если конечная температура на поверхности шара t_к= 300C.

Ответ:d_м= 40 мм.

Указания к решению:найти коэффициенты= 16 Вт/м·С,a= 0,5310^–5м²/с,= 100 Вт/м²·С. Выбрать материал модели и определить условия ее охлаждения_м= 1,28 Вт/м·С (бетон), С_м= 0,31 кДж/кгС,_м= 10 Вт/м²·С. Решение проводится аналогично решению задачи 4.1.1.