Глава 4 Основы теории размерностей и подобия. Моделирование явлений переноса

Явления природы не зависят от выбора системы единиц измерения и размеров единиц. Такими же свойствами обладают и уравнения математической физики, если они верно выражают свойства явлений.

Это основное положение, используемое при приведении зависимостей к безразмерному виду, и основная аксиома теории подобия.

§ 4.1. Понятие о физическом подобии Два физических процесса называют подобными, если:

1) два процесса имеют качественно одинаковыеусловия однозначности;

2) сходственныевеличины обоих процессов связаны друг с другомпреобразованием подобия;

3) математические описания обоих процессов также связаны преобразованием подобия.

Качественно одинаковыминазываются процессы, имеющие одинаковую физическую природу и одинаковые математические описания. Эти описания совпадают друг с другом во всем, кроме численных значений физических величин, входящих в условия однозначности.

Преобразованием подобияназывают линейное соотношение, которое связывает сходственные величины

j₁ = C_j j₂.

Величины j₁иj₂называютсходственными, если они имеют:

а) одинаковый физический смысл;

б) характеризуют процессы 1 и 2 в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

В одинаковой системе отсчета сходственные точкипространства имеют пропорциональные друг другу координаты

x₁ = С_l x₂

y₁ = С_l y₂ , l₁ = C_ll₂.

z₁ = C_l z₂

Сходственные моменты времениимеют одинаковое начало отсчета, они пропорциональны друг другу:₁ = С_₂.

Коэффициент с называют константой подобия. По определению константы обладают следующими свойствами:

а) они безразмерны;

б) конечны и положительны;

в) не зависят ни от координат, ни от времени, ни от направления;

г) одинаковы для однородных величин и, вообще говоря, различны для величин неоднородных.

Пример физического подобия: нестационарная теплопроводность (гл.3), два процесса в двух тонких пластинах:

f(x₁, ₁, V₁,t₁, ₁, ₁, a₁, ₁) = 0;

f(x₂, ₂, V₂, t₂, ₂, ₂, a₂, ₂) = 0;

x₁ = c_l x₂; V₁ = C_tV₂;

₁ = c_l ₂; t₁ = C_tt₂ и т.д.

§ 4.2. Теоремы подобия

Прямая теорема подобия

Если физические процессы подобны, то их одноименные критерии подобия имеют одинаковую величину: ₁ = idem, _i . . ., _п-к = idem.

Эта теорема устанавливает признаки сходства подобных явлений.

Обратная теорема подобия

Для того, чтобы физические процессы были подобны друг другу, достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их одноименные определяющие критерии подобия имели одинаковую величину. Эта теорема устанавливает достаточные условия для подобия явлений и является базой для физического моделирования.

-теорема

Если уравнение f(а₁а₂...а_п) = 0 содержитnразмерных величин с независимыми друг от друга единицами измерения, то это уравнение приводится к безразмерному видуF(₁₂..._п-к) = 0, которое содержитn-кбезразмерных величин. Данная теорема является базовой для приведения размерных зависимостей к обобщающему безразмерному виду и позволяет проверить правильность такого преобразования.

Пример использования -теоремы.Нестационарная температура в тонкой пластине, описываемая зависимостью из восьми размерных величин (n= 8):

f(x, , V, t, , , a, ) = 0.

Здесь количество групп размерных величин с независимыми размерностями равно четырем (k= 4). Тогда уравнение приводится к виду:

F(, X, Fо, Bi) = 0,

где число безразмерных величин равно четырем (n–k) = 4.