- •Глава 3 Простейшие нестационарные процессы теплопроводности § 3.1. Нестационарный процесс теплопроводности в тонкой пластине и длинном цилиндре для граничных условий 3-го рода
- •Контрольные вопросы
- •§ 3.2. Нестационарный процесс теплопроводности в сложных телах, образованных пересечением простых тел
- •§ 3.3. Применение регулярного теплового режима для определения характеристик теплообмена
- •Контрольные вопросы
- •Общие контрольные вопросы к главе 3
Глава 3 Простейшие нестационарные процессы теплопроводности § 3.1. Нестационарный процесс теплопроводности в тонкой пластине и длинном цилиндре для граничных условий 3-го рода
Задача. Определить нестационарное поле температуры в тонкой пластине, которая имела температуруt0, а затем в начальный момент времени0была помещена в жидкость сtж >t0(рис.3.1).
Задано: , a, , , tж, t0 = const; qv = 0.
Найти: t = t(x, , , , a, , tж, t0).
Рис.3.1.
Исходное уравнение преобразуется:
;
;
,.
Временные условия:,.
Граничные условия:.
Условие симметрии:.
Введем V = tж-t, тогда уравнение с граничными и временными условиями примет вид
;
.
Решаем методом разделения переменных:
,
в результате уравнение примет вид
или.
Решая получившиеся два уравнения: ии используя условие, условие симметрии и граничное условие 3-го рода, получаем решение в виде
,
где nkнаходим из уравнения, вытекающего из граничного условия, аС5- из временного условия.
Таким образом, данная задача имеет множество решений, так как получаемое решение есть частное решение (рис.3.2) трансцедентного уравнения . Общее же решение можно представить суммой всех частных решений:, что в конечном счете дает
Рис.3.2.
Рис.3.3.
,.
Во многих практических расчетах необходимо определить:
1) либо температуру на поверхности пластины
;
2) либо температуру в центре пластины
.
Пользуясь графиком 0и1, можно выполнить расчеты трех типов.
1. Заданы: продолжительность нагревания (охлаждения) пластины, т.е. число Fо, и интенсивность теплоотдачи на ее поверхности, т.е. число Bi.
Определить: температуру на поверхности и в центре0и1.
2. Заданы: температуры1или0и число Bi.
Определить: продолжительность нагрева (охлаждения) до этих температур, т.е. число Fо.
3. Заданы: продолжительность нагрева (охлаждения, т.е. число Fо) до температуры и1(или0).
Определить: потребную интенсивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. число Bi.
Для бесконечно длинного цилиндра место хзанимаетr:, - то же, что и в плоской пластине. В справочной литературе имеются аналогичные расчетные номограммы1и0, конечно, численно отличные от тонкой пластины.
Контрольные вопросы
1. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности тонкого плоского подложкодержателя в различные моменты времени при его внесении в зону реактора с протоком горячего газа?
2. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности длинного цилиндрического подложкодержателя в различные моменты времени при его охлаждении на воздухе после его извлечения его из реактора?
3. Объяснить физический смысл чисел Био и Фурье. Что дает их использование в нестационарной теплопроводности?
Задача 3.1.1.Лист резины толщиной 20 мм после обработки в автоклаве при температуреt0= 140С вынут на воздух. Температура воздухаtж= 15C.
Определить температуру в середине и на поверхности пластины через время 1= 20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплоотдачи= 65 Вт/м2C.
Ответ:;.
Указания к решению:из справочника выбрать теплопроводность резины= 0,175 Вт/мC и коэффициент температуропроводностиa= 0,83310–7м2/с, рассчитать числа Bi, Fo и, по графикам для бесконечно длинной пластины:x = 0=f1(Bi, Fo) иx = 1=f2(Bi, Fo), найти безразмерные температуры, от которых перейти к истинным температурамtx = 0иtx = .
Задача 3.1.2.Стальной вал диаметромd= 120 мм помещен в закалочную печь с температуройtж= 820С. Определить время, необходимое для его нагрева. Нагрев считать законченным при температуреt= 800C.
Определить температуру на поверхности вала в конце нагрева.
Ответ: = 51 мм;tr = r0= 804C.
Указания к решению:коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали, взятые из справочника, равны= 21 Вт/мC,a= 6,110–6м2/с. Аналогично задаче 3.1.1, но по графику для бесконечно длинного цилиндраr = 0=f1(Bi, Fo), исходя из безразмерной температуры и числа Bi, найти число. Принять начальную температуруt0= 20С, аr0= 0,5d. Из безразмерного числа Фурье найти время, после чего, используя другой графикr = r0=f2(Bi, Fo), рассчитать температуру на поверхности.