§ 2.3. Теплопроводность в тонких длинных стержнях Общая постановка задачи о теплопроводности в тонком длинном стержне

Определить поле температуры в тонком длинном стержне при следующих условиях однозначности.

Г

Рис.2.21.

еометрические:стержень прямой с поперечным сечениемF, периметром П и длинойl(рис.2.21).

Условие длинности стержня:

; - эквивалентный диаметр.

Пl>>F

Физические:=(t); c=c(t); q_v=q_v(x).

Временные:либо t() при = ₀, либоt = t().

Граничные: условия теплообмена на боковой поверхности и на торцах стержня. Дифференциальное уравнение теплопроводности в тонком стержне

так как стержень тонкий, тоt = t (x, y, z, t) заменяем на- среднюю по сечению температуру.

Рис.2.22.

Для элемента dx составляем уравнение за малый промежутокd(рис.2.22).

Из уравнения баланса тепла имеем

-

дифференциальное уравнение для теплопроводности в тонком стержне, где t - температура, средняя по сечению.

Рис.2.23.

В тонких стержнях внутреннее сопротивление поперек стержня мало по сравнению с внешним (рис.2.23): ,т.е. внутри стержня температура почти равномерна.

Задача.Тепловой расчет гильзы термодатчика (термометра).

Определить стационарное поле температуры в гильзе термодатчика, которая имеет длину l, толщину стенки , наружный диаметрd, коэффициент теплоотдачи,q_v= 0, коэффициент теплопроводности.

Задано: l, , t_ж, d, ,  - const, q_v = 0.

Задача на расчет гильзы термодатчика, измеряющего температуру среды t_ж(рис.2.24).

Рис.2.24.

Найти:t = t(l); t.

Дифференциальное уравнение для гильзы преобразуется в , где,. Решение этого уравнения для разностной температуры:

; ,

где .

Сравним численное решение для двух случаев: гильза медная и стальная.

Для заданных значений:

l = 150 мм, = 1 мм,V₀= 80⁰C,d = 20 мм,20 Вт/м²град.

Погрешность измерения:

t= 500C(медная);

t20C(стальная).

Если же V₀= 1000⁰C, то

t= 5000C(медная);

t= 200C(стальная).

В этом расчете принималось .

Определим потери тепла через торец длинного стержня:

.

Потери через торец: .

Контрольные вопросы

1. Как влияют геометрические размеры на погрешности измерения температуры среды термодатчиком, обусловленные теплопроводностью вдоль длинного стержня?

2. Составить схему расчета потерь тепла по длинному стержневому элементу оборудования, при этом учесть, что внутри реактора газовая среда, ее температура выше, чем снаружи, а стержневой элемент проходит через стенку реактора.

3. Как используется модифицированное уравнение теплопроводности Фурье для решения задачи теплопроводности в длинном стержне?

4. Как отразится на измерении температуры газа внутри реактора удлинение гильзы термодатчика? Объяснить причину.

5. Как изменится погрешность измерения температуры среды, если изменить диаметр гильзы термодатчика, не меняя его толщины?

Задача 2.3.1.Температура газа в реакционной камере измеряется термопарой, которая помещена в гильзу (медную или стальную трубку), заполненную маслом. Термопара показывает на конце гильзы температуру, равную 300C.

Оценить погрешность измерения, возникающую за счет отвода тепла от медной гильзы путем теплопроводности, если температура у

основания гильзы 40 C, длина 120 мм, толщина стенки гильзы 1,5 мм, коэффициент теплоотдачи от газа к гильзе= 25 Вт/мС. Оценить потери тепла по этой гильзе и истинную температуру газа.

Ответ:погрешность измерения с медной гильзой составляет 200%, со стальной - около 20%.

Указания к решению:погрешность измерения - разностьt(l) между истинной температурой среды и температурой конца гильзы, измеряемой термопарой, - рассчитывается по формуле для длинного тонкого стержня:

,

где

; ;.

Произвести расчет потерь тепла для случая, когда термопара помещена в медную гильзу, используя закон Био-Фурье:

, ;

,

,

, следовательно,

;

.

Задача 2.3.2.Рассчитать потери тепла по стальному штоку диаметром 50 мм и длиной 100 мм при условии, что температура внутри камеры 900C, коэффициент теплоотдачи= 25 Вт/м²·С, температура у его основания 40С.

Ответ:потери около 300 Вт.

Указания к решению:используя решение задачи 2.3.1, получить:

, .

Задача 2.3.3.Для охлаждения внешней поверхности полупроводникового устройства внешняя поверхность его боковых стенок выполнена ребристой с вертикальными алюминиевыми ребрами. В плане устройство квадратное, ширина его боковых стенокb= 800 мм, высотаh= 1000 мм, высота и ширина ребер соответственно равныl= 30 мм,= 3 мм. Каждая стенка имеет 40 ребер. Температура у основания ребраt₀= 30C, температура окружающей средыt_ж= 20C, коэффициент теплопроводности алюминия= 200 Вт/м·С, коэффициент теплоотдачи к окружающему воздуху= 7 Вт/м²·С.

Вычислить температуру на конце ребра t(l) и количество тепла отдаваемого четырьмя боковыми стенками с ребрамиQ_р. Сравнить с количеством теплаQ, отдаваемым неоребренными стенками в тех же условиях.

Ответ: t(l) = 29,8С,Q_р850 Вт; в случае неоребренных стенок тепла уходит гораздо меньше:Q225 Вт, т.е. первый вариант дает в 3,5 раза больший отвод тепла.

Указания к решению:взять из справочника коэффициент теплопроводности алюминия= 200 Вт/м·С, и рассчитать для заданных условий коэффициент теплоотдачи= 7 Вт/м²·С. Так как высота ребер значительно больше остальных размеров, то расчет для каждого ребра с определенной степенью приближения можно свести к расчету для длинного тонкого стержня:

; ;

; ;;

;

; для неоребренных стенок .

Задача 2.3.4.Нагреватель выполнен в виде вертикальной трубы с продольными, стальными ребрами прямоугольного сечения. Высота трубыh= 1,5 м, наружный диаметрd₂= 60 мм, длина реберl= 50 мм, толщина= 3 мм, общее число реберn= 20, температура окружающего воздухаt_ж= 15C, стенки нагревателяt₀= 90C, коэффициент теплоотдачи от ребер и внешней поверхности трубы= 9,5 Вт/м²C.

Вычислить количество тепла, отдаваемое этим нагревателем в окружающую среду, и сравнить его с количеством тепла от нагревателя без ребер.

Ответ:Q­_оребр.= 2079 Вт;Q_{неоребр}= 201 Вт.

Указания к решению:взятый из справочника коэффициент теплопроводности для стали равен= 50 Вт/м·С. Каждое ребро принимается за длинный тонкий стержень, а общее количество отдаваемого тепла берется как сумма количества тепла, отдаваемого каждым ребром и гладкой цилиндрической поверхностью. Расчет аналогичен приведенному в задаче 2.3.3.