Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
17.04.2013
Размер:
57.86 Кб
Скачать

Лекция №21.

Wt либо единица, либо больше;

n – число фазовых ячеек.

Wt 1; ; N = N1 + N2 + … + Nn

Рассчитаем т/д вероятность для системы, состоящей из двух частиц (молекул). Фазовое распределение частиц условно покажем на рисунке. Рассмотрим два макро состояния: крайне равномерное и равномерное.

N = 2

крайне равномерное распределение

, т.е. одним способом определяем это неравномерное распределение.

Пример №2: Найти Wt для крайне неравномерного и равномерного распределения шести молекул по трем фазовым ячейкам.

Чем больше число частиц, тем больше Wt. При большем числе молекул различие между т/д вероятностями равномерного и неравномерного распределения частиц в объеме будет еще больше. С ростом числа частиц т/д вероятность растет, а математически падает  1) система из большего числа частиц стремится к равномерному распределению. 2) это распределение фактически маловероятно, хотя оно более вероятно, чем неравномерное распределение.

Гипотеза Больцмана: процессы являются самопроизвольными, когда конечные состояние более вероятно, чем начальное, т.е. конечное состояние характеризуется большим числом частиц макро состояний. Таким образом т/д вероятность как и энтропия являются мерой системы к равновесию.

Связь энтропии с т/д вероятностью.

Согласно Томпсону и Клаузиусу самопроизвольные процессы в изолированной системе сопровождаются ростом энтропии, т.е. ∆S > 0. Согласно с гипотезой Больцмана: переход от менее вероятного к более вероятному состоянию соответствует росту т/д вероятности, что может достигнуть, если знаменатель min  Wt будет max. Знаменатель min, если N1 = N2 = … = Nn. Чем больше Wt, тем легче осуществить данное макроскопическое состояние. В обратимом процессе Wt начального, конечного и промежуточного состояния одинаковы, т.к. они равновесны,  обратимые процессы не сопровождаются изменениями энтропии, т.е. ∆S = 0. Но это заключение справедливо только для адиабатных и полностью изолированных систем. Для процессов, связанных с теплообменом ∆S не равна нулю. Теплота вносит беспорядок в движение молекул и создается возможность расчета движения молекул через изменение теплоты.

Вывод формулы Больцмана.

(по Планку).

Пусть рассматриваемая система состоит из двух частей. По правилу аддитивности общая энтропия такой системы (см. рис.) будет равна: S = S1 + S2.

Определим вероятность состояний «один» и «два».

 = 12 (два одновременно происходящих события).

Допустим, S мера – вероятности системы ().

S1 = (1) S2 = (2)  S = (1,2), таким образом имеем функцию.

(1,2) = (1) + (2).

Далее вывод сводится к дифференцированию: сначала по 1, потом по 2, учитывая вид функции, запишем:

  1. дифференцирование по 1

2(1,2) = (1) (*)

2) продифференцируем по 2 (*)

’(1,2) + 12’(1,2) = 0

Далее производим интегрирование:

интегрируем

ln ’() = -ln  + ln a после потенцирования

’() = |

S = () = aln() + const полагая, что const = aln b

S = aln b

Здесь неопределенны две const а и b.

Согласно определению т/д вероятности имеем вероятность математическая  =

b > Wt

 < 1

 правильная дробь.

S = alnWt

Раскроем физический смысл константы a, для этого рассмотрим систему, включающую в себя 2 моля газа, пусть объем системы равен 2V (система состоит из двух частей).

2V 2N0=N

No = Na = 61023

Рассмотрим процесс перехода из состояния крайне неравномерного в состояние равномерного состояния газа. Неравномерн. Wt1

Равномер. Wt2

∆S = S2 – S1 = a (lnWt2 – lnWt1) = {используем формулу комбинаторики}

= a = {для данного преобразования мы использовали формулу Стирлинга lnN = N(lnN - 1).} = {после применения формулы Стирлинга получим выражение} ∆S = 2aNoln2.

В нашей задаче энтропия, связанная с расширением 2-ух молей от начального объема V до 2V определяется уравнением:

minS = 2Rln2 = ∆S (та же ∆S с точки зрения смещения).

2aNoln2 = 2Rln2

aNo = R

a = k =

Вывод: гипотеза имеет реальную природу. Энтропия массы газа, соответствующая данному состоянию равна произведению K на т/д вероятность данного состояния  гипотеза Больцмана из произвольной становится обоснованной.

Соседние файлы в папке Лекции (Павлова)