Ankilov_Goryacheva_Rasputko
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТИПОВОЙРАСЧЕТПОВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕ
СОСТАВИТЕЛИ: АНКИЛОВ А. В.
ГОРЯЧЕВА Н. Я. РАСПУТЬКО Т. Б.
Ульяновск 2004
УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7
Д 50
Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа УлГПУ М. С. Чунаева.
Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.
Дифференциальное |
исчисление функций |
нескольких |
переменных: |
Д 50 типовой расчет по |
высшей математике |
/ Сост.: А. |
В. Анкилов, |
Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 32 с.
Настоящий типовой расчет составлен в соответствии с программами математических дисциплин для инженерно-технических специальностей вузов, утвержденных Главным учебно-методическим управлением высшего образования 7 июля 2000 года.
Изложена методика выполнения типового расчёта по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», приведены варианты типового расчета и даны образцы решения задач с предварительными пояснениями.
Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ.
УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7
Учебное издание
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Типовой расчет по высшей математике
Составители: АНКИЛОВ Андрей Владимирович ГОРЯЧЕВА Наталья Яковлевна РАСПУТЬКО Татьяна Борисовна
Редактор Н.А. Евдокимова
Подписано в печать 10.06.2004. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,87.
Тираж 450 экз. Заказ
Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
© Оформление. УлГТУ, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение …………………………………………………………………….. 4
1.Теоретические вопросы ……………………………………………………. 4
2.Теоретические упражнения ………………………………………………... 5
3.Методические рекомендации к решению задач ………………………….. 6
4.Расчетные задания ………………………………………………………….. 20
Библиографический список .……………………………………………….. 32
-3-
ВВЕДЕНИЕ
Настоящий типовой расчет (ТР) предлагается студентам 1-го курса для более глубокого самостоятельного изучения темы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Студент, выполняющий ТР, должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, решать теоретические упражнения, а также решить задачи одного из вариантов (номер варианта указывается преподавателем). В четвертой части ТР даны методические указания и приведены образцы решения задач типового расчета.
1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.Определение функций двух переменных, ее области определения. Геометрическое истолкование этих понятий. Понятие функции трех переменных.
2.Понятие предела функции двух и трех переменных в точке. Понятие непрерывной функции нескольких переменных.
3.Частные производные функции двух и трех переменных.
4.Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал первого порядка функции двух и трех переменных.
5.Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
6.Частные производные сложной функции нескольких независимых переменных. Полная производная.
7.Дифференцирование неявных функций одной и нескольких независимых переменных.
8.Определение частных производных высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных. Дифференциал второго порядка функций двух и трех переменных.
9.Формула Тейлора и формула Маклорена для функции двух переменных.
10.Понятие точки экстремума функции двух и трех переменных.
11.Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
12.Необходимые и достаточные условия экстремума функции трех переменных.
13.Понятие точки условного экстремума функции двух переменных.
14.Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.
15.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области. Теорема Вейерштрасса.
-4-
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что если функция f (x, y) непрерывна в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и по каждой из переменных x и y в отдельности.
2. Доказать утверждение: если функция |
f (x, y) |
имеет |
частную |
|
производную f x′(x, y) |
в некоторой окрестности |
точки |
M (a, b) , |
причем |
существует предел lim |
f x′(a + h, b)= c , то этот предел равен |
f x′(a, b). |
|
|
h→0 |
|
|
|
|
3.Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности является функцией трех переменных: долготы точки λ, ее широты θ и момента времени t. Указать физический смысл частных производных Tλ′,Tθ′,Tt′.
4.Доказать утверждение: если функция f (x, y) удовлетворяет
неравенству | f (x, y) |< x2 + y 2 , то она дифференцируема в точке (0,0).
|
|
|
x3 y |
|
|
|
|
|
||
5. Доказать, |
что |
функция |
f (x, y)= (x6 + y 2 ), |
если |
x6 + y 2 ≠ 0 , и |
|||||
f (x, y) = 0 , если |
x = y = 0 , – разрывна при |
x = y = 0 , |
но |
имеет частные |
||||||
производные в точке (0, 0). |
y |
|
y |
|
||||||
6. Доказать, |
что |
функция |
|
удовлетворяет |
||||||
z = x g |
|
|
+ y |
g |
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
соотношению x2 z′xx′ + 2xyz′xy′ + y2 z′yy′ = 0 .
7.Доказать, что U ′y = g(z)U ′x , где U = f (z) , а z – функция от x и y, определяемая из уравнения z = x + y g(z) .
8.Доказать, что касательная плоскость к поверхности xyz = a3 в любой ее
точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.
9. Сумма нескольких положительных чисел, имеющих данное произведение, оказывается наименьшей тогда и только тогда, когда все эти числа равны между собой. Доказать.
10. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 + y 4 имеет экстремум в точке (0,0).
11. Пользуясь определением, доказать, что функция U =sin 2 (x + y + z) имеет экстремум в точке (0,0).
12. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 − y 2 в точке
(0,0) экстремума не имеет (причем точка (0,0) является стационарной для функции z).
13. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x2 + y 2 в точке
(0,0) имеет экстремум. Доказать, что в точке (0,0) частные производные ∂z ∂x и∂z ∂y не существуют.
-5-
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА №1. Найти и изобразить на плоскости область определения
функции z = |
ln |
x2 |
+ y2 |
+ arcsin |
y |
+ |
x . |
|
4 |
x2 |
|||||
Решение. |
|
|
|
|
функции z есть пересечение областей |
||
Область |
определение |
определения слагаемых функций. Первая функция: для того, чтобы квадратный корень имел вещественное значение, его подкоренное выражение должно быть
|
x2 |
+ y 2 |
|
||
неотрицательным, т. е. |
ln |
|
|
|
≥ 0. Если значение логарифмической |
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма,
должно быть больше или равно единице, т. е. x2 +4 y 2 ≥1, отсюда x2 + y 2 ≥ 4 .
Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной
окружности. Вторая функция arcsin |
y |
определена при |
−1 ≤ |
y |
≤1, x ≠ 0 . |
|
x2 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
Следовательно, − x2 ≤ y ≤ x2 , x ≠ 0. Имеем две параболы с вершиной в начале координат y = x2 и y = −x2 . Поэтому полученное неравенство задает нам часть
плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при x ≥ 0 .
Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых (рис. 1).
Рис. 1. Область определения функции z(x,y)
ЗАДАЧА № 2.1. Найти производные сложной функции
z =ln(xy2 − 2x2 y) , где x = vu2 , y = u sin v .
Решение. Выполняя действия в соответствии с формулами:
z′ |
= z′ x′ |
+ z′ |
y′ |
, |
z′ |
= z′ |
x′ |
+ z′ |
y′, |
u |
x u |
y |
u |
|
v |
x |
v |
y |
v |
-6-
|
zu′ = |
|
y2 −4xy |
|
|
1 |
|
|
|
2xy −2x2 |
|||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
sin v, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
xy2 −2x2 y v2 |
|
|
xy2 −2x2 y |
||||||||
zv′ |
|
y2 |
− 4xy |
|
|
|
2u |
|
|
|
2xy − 2x2 |
||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
u cosv . |
|||
xy2 |
|
v3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
− 2x2 y |
|
|
|
|
|
|
xy2 − 2x2 y |
Вместо x и y подставим их выражения через u и v. После несложных
преобразований получим: |
|
2v2 sin v(v cos v −sin v)+8sin v − 2v cos v |
|
||||
zu′ = |
3 |
, |
zv′ |
= |
. |
||
u |
v sin v(v2 sin v − 2) |
||||||
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА № 2.2. Продифференцировать сложную функцию u = x3 yz2 , где x =sin t , y = t , z =t 2 .
Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной, то речь идет о вычислении обыкновенной производной ut′. Выполняя действия в
соответствии с формулой u′t =u′x xt′ +u′y yt′ +u′z zt′, получим:
|
|
|
|
|
|
ut′ = 3x2 yz |
2 cos t + x3 z2 |
+ 2x3 yz2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вместо x, y и z подставим их в выражения через t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
u′ |
=3sin 2 t cost t4 |
t + sin3 t |
t 4 |
|
+ 4sin3 t t3 |
|
t = 0.5t3 |
|
|
t sin 2 t(6t cost + 9sin t). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ЗАДАЧА № 3. Найти все частные производные и полные дифференциалы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первого и второго порядка от функции z =(2x3 + y2 )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Находим все частные производные 1-го и 2-го порядков: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z′x =12x2 (2x3 + y2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
z′y = 4 y(2x3 + y2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′′ |
= 24x(2x |
3 |
+ y |
2 |
) +12x |
2 |
|
6x |
2 |
=120x |
4 |
|
+ 24xy |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
zxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
= |
8x |
3 |
+12 y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
zxy = 24x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Находим дифференциалы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dz = z′xdx + z′y dy =12x2 (2x3 + y2 )dx + 4 y(2x3 + y2 )dy, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d |
2 |
′′ |
2 |
′′ |
|
|
′′ |
|
2 |
=(120x |
4 |
+24xy |
2 |
)dx |
2 |
+48x |
2 |
ydxdy+(8x |
3 |
+12y |
2 |
)dy |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z = zxxdx |
|
+2zxydxdy+ zyydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА № 4. Доказать, что функция z =e x |
удовлетворяет соотношению: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
2 ∂z |
|
|
|
|
|
2 ∂2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
− y |
|
|
∂y2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решение. Находим производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∂z |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
∂z |
|
1 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
=e x |
|
|
|
|
|
|
e x , |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
x2 |
|
|
∂y |
|
x |
|
|
|
∂y2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7-
далее получаем
∂ |
∂z |
|
∂ |
|
y |
|
|
y |
|
∂ |
|
|
y |
|
|
y |
y |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x2 |
|
= |
|
x2e x |
|
− |
|
|
= |
|
|
− ye x |
= e x |
|
|
. |
|||||
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в левую часть соотношения, получаем:
|
|
∂ |
2 |
|
∂z |
|
|
2 ∂2 z |
|
|
|
y |
y |
|
2 |
|
2 1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= e x |
e x = 0 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ЗАДАЧА № 5.1. Найти первую и вторую производные неявной функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной уравнением |
ln(2x + 3y) − 2x − y3 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Производная неявной функции y=y(x), заданной с помощью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения F(x,y)=0, может быть вычислена по формуле |
dy |
= − |
∂F |
|
∂F |
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
∂x |
|
∂y |
|||
условии, что |
≠ 0. |
|
|
|
В |
|
данном |
случае |
|
|
F(x, y) =ln(2x +3y) − 2x − y3 =0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим ∂F ∂x u ∂F ∂y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂F |
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
− 2, |
|
|
|
∂F |
= |
3 |
|
|
−3y2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
2x + 3y |
|
|
|
|
|
2x + |
3y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Производная неявной функции равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y = − |
|
|
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
2 − 4x − 6 y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
= − |
|
|
|
2x + 3y |
|
|
= − |
|
. |
|
(3.1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂F |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 6xy2 −9 y3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
2x +3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производную второго порядка можно найти последовательным дифференцированием последнего соотношения, рассматривая при этом y как
функцию от x. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 y |
|
∂ |
|
2 − 4x −6 y |
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
∂x |
|
|
|
|
3 −6xy |
−9 y |
3 |
|
|||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
−9 y |
3 |
) −(2 − 4x −6 y)(−6 y |
2 |
−12xyy |
′ |
− 27 y |
2 |
′ |
||||
= − |
(−4 − 6 y )(3 − 6xy |
|
|
|
|
|
y ) |
. |
|||||||
|
|
|
(3 −6xy2 −9 y3 )2 |
dy |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя в это соотношение выражение для |
= y′ |
из формулы (3.1), |
|||||||||||||
dx |
|||||||||||||||
получим производную второго порядка для функции y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′xx =12 |
6x +9y +72x2 y2 +108xy3 +54y4 +6y2 +6xy4 +9y5 +12xy −16x2 y −60xy −54y3 −16x3 y |
. |
|
||
|
(3 −6xy2 −9y3 )3 |
-8-
ЗАДАЧА № 5.2. Найти первые и вторые частные производные неявной функции, заданной уравнением
z2 x − x2 y + y2 z + 2x − y =0. |
(3.2) |
Решение. Будем дифференцировать по x и по y равенство (3.2), понимая под z неявную функцию двух переменных. Дифференцируем равенство (3.2) по x:
|
|
|
2xy − z2 − 2 |
2zz′x x + z2 − 2xy + y2 z′x + 2 = 0. |
(3.3) |
|
Найдем z′ |
= |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|||
x |
|
|
2xz + y2 |
|
||
|
|
|
|
|||
Дифференцируем равенство (3.2) по y: |
|
|||||
|
|
|
|
|
2zz′y x − x2 + 2 yz + y2 z′y −1 = 0. |
(3.4) |
Найдем z′ |
= |
x2 − 2 yz +1 |
. |
|
||
|
|
|||||
y |
|
|
2xz + y2 |
|
||
|
|
|
|
Чтобы найти производные второго порядка, продифференцируем равенство (3.3) сначала по x, потом по y, а равенство (3.4) по y:
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
′′ |
|
′ |
+ y |
2 |
′′ |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
(3.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
2x(zx ) |
|
+ 2xzzxx + 4zzx − 2 y |
|
|
zxx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ ′ |
+ |
|
|
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
′ |
+ y |
2 |
′′ |
=0, |
|
|
|
|
(3.6) |
|||||||
|
|
|
|
2xzx zy |
2xzzxy |
+ 2zzy |
− 2x + 2 yzx |
|
zxy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
2 |
+ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
2 |
′′ |
|
|
+ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||
|
|
|
|
2x(zy ) |
|
2xzzyy |
+ 2z + 2 yzy + y |
|
zyy |
2 yzy = 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Из (3.5), (3.6), (3.7) соответственно найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z′′ |
= |
2 y − 4zz′x − 2(z′x )2 x |
, |
|
|
z′′ = |
2x − 2 yz′x − 2zz′y − 2xz′x z′y |
, |
|
(3.8) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
xx |
|
|
|
2zx + y2 |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
2xz + y2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z′′ |
= |
− 2(z′y )2 x − 2z − 4 yz′y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
2xz |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ ′′ |
′′ |
||||||||
Подставляя в (3.8), (3.9) выражения для |
|
и |
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||
zx |
zy , |
zxx , zyy |
, zxy , |
|||||||||||||||||||||||||||||
зависящие от x, y, z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z′′xx = |
2 y5 + 6xz4 |
+12xz2 + 4 y2 z3 +8y2 z −8x3 y2 +16x2 y −8x |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xz + y2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′′ |
6x3z2 +6x2 y2z −2xy4 +4xyz3 +6y3z2 +4y3 −2xz2 −2y2z −4x4 y +4y3 −4x2 y +4x |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zxy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xz+y2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z′′ |
= −2 |
x5 + 2x3 yz + 2x3 + x + 4x2 z3 −3y4 z + 2x2 y3 + 2 y3 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xz + y2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ЗАДАЧА № 6. Разложить функцию |
|
z = x y |
в окрестности точки M (1,1) по |
|||||||||||||||||||||||||||||
формуле Тейлора, ограничиваясь членами третьего порядка включительно. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. В данном случае формула Тейлора принимает вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x, y)= f (1,1)+ |
df (1,1) |
+ |
d 2 f (1,1) |
+ |
d 3 f (1,1) |
+ R , |
(3.10) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-9- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R3 – дополнительный член формулы Тейлора.
1) Найдем все частные производные функции до 3-го порядка включительно:
|
′ |
= yx |
y −1 |
, |
|
|
′ |
= x |
y |
ln x , |
|
′′ |
|
|
y −2 |
, |
|
′′ |
y |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
fx |
|
|
f y |
|
fxx = y(y −1)x |
|
|
|
f yy = x |
|
(ln x) , |
|
||||||||||||||
′′ |
|
|
y −1 |
+ yx |
y −1 |
ln x , |
′′′ |
|
|
|
2)x |
y −3 |
, |
′′′ |
|
|
|
y |
|
3 |
|||||||
fxy = x |
|
|
|
fxxx = y(y −1)(y − |
|
|
f yyy = x |
|
(ln x) |
, |
|||||||||||||||||
′′′ |
= |
(2 y −1)x |
y −2 |
+ y(y |
−1)x |
y −2 |
ln x , |
′′′ |
= 2x |
y −1 |
ln x + yx |
y −1 |
|
2 |
|||||||||||||
fxxy |
|
|
|
fxyy |
|
|
|
|
|
(ln x) . |
2) Вычислим значения функции и ее частных производных в точке М(1, 1):
′ |
(1, 1)=1, |
′ |
|
′′ |
|
′′ |
′′ |
f (1,1)=1, fx |
f y (1,1)=0 , |
fxx (1,1)= 0 , |
fxy (1,1)=1, |
f yy (1,1)=0 , |
|||
′′′ |
(1,1)= 0 , |
′′′ |
(1,1)=1, |
′′′ |
(1,1)=0 , |
′′′ |
|
fxxx |
fxxy |
fxyy |
f yyy (1,1)= 0 . |
3) Составим дифференциалы функций, участвующие в формуле (3.10) df (1,1)= fx′(1,1)dx + f y′(1,1)dy = dx ,
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
f (1,1) |
|
|
′′ |
(1,1)dx |
2 |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
+ |
′′ |
|
|
|
|
2 |
= 2dxdy , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= fxx |
|
+ 2 fxy (1,1)dxdy |
f yy (1,1)dy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
3 |
f |
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
3 |
+ |
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
dy + |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
′′′ |
|
3 |
=3dx |
2 |
dy . |
||||||
|
|
(1,1)= fxxx (1,1)dx |
|
3 fxxy (1,1)dx |
|
3 fxyy (1,1)dxdy |
|
+ f yyy (1,1)dy |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Учитывая, что x0 = y0 =1, dx = x − x0 = x −1, dy = y − y0 = y −1, подставим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найденные значения в (3.10). Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y =1 + (x −1)+ (x −1)(y −1)+ 1 (x −1)2 (y |
−1)+ R . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ЗАДАЧА № 7.1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхности z = excos y |
в точке |
|
M 1,π, |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме z = f (x, y), то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение касательной плоскости в точке M (x0 , y0 , z0 ) имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ f y′(x0 , y0 )(y − y0 ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а уравнение нормали |
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx′(x0 , y0 ) |
f y′(x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдем частные производные |
|
fx′, |
f y′: |
|
f y′ =ex cos y (− xsin y). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx′ = ex cos y cos y , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Найдем значения |
частных |
производных |
в |
|
точке |
|
N(1,π): |
fx′(1,π)= −1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f y′(1,π)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||
|
|
Подставляя |
найденные |
|
значения |
и |
координаты |
точки |
М в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения касательной |
|
|
плоскости |
|
|
и |
нормали, |
соответственно |
получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z − |
1 |
= − |
x −1 |
|
или |
|
|
x + ez − 2 =0 |
|
– |
уравнение |
|
касательной |
|
|
плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
y −π |
|
z −1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x −1 |
= |
y −π |
|
= |
z −1 e |
или |
= |
= |
– уравнение нормали. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10-