Алгоритм

1. На множестве вершин (выводов) M⁽ⁱ⁾ построить взвешенный полный граф (число ребер в нем n(n-1)/2 ). Для этого вычислить элементы матрицы расстояний по одной из формул:

или (5.1)

, (5.2)

где и– координатыi-й и j-й позиций монтажного пространства.

Формулой (5.1) пользуются для монтажа «внавал», а формулой (5.2) – при жгутовом монтаже.

2. Всем элементам, лежащим на главной диагонали и ниже её, присваивается значение . Присвоить нулевое значение длинеL рёбер искомого дерева: L = 0; i = 0; j = 0.

3. Сформировать таблицу меток и локальных степеней вершин: ;;;;.

4. Присвоить .

5. Найти минимальный элемент матрицы.

6. Если , то идти к 4.

7. Если или, то идти к 4.

8. Поглощение меток: все метки нового фрагмента получают значение , а локальные степени соединенных вершин –и.

9. Включить ребро во множествоR ребер минимального дерева, а длину дерева увеличить на длину ребра: .

10. Если , то идти к 4, в противном случае к 11.

11. Минимальное дерево построено. R – множество его ребер, а L – суммарная их длина.

Конец.

3. Алгоритм Прима

Алгоритм Прима реализует следующую процедуру [1 – 7].

На каждом шаге просматриваются только те ребра графа, которые связы-вают вершины строящегося поддерева с новыми, еще не присоединенными вершинами, т.е. ищется вершина, ближайшая от всего построенного фрагмента дерева. Отсюда, в отличие от алгоритма Краскала, единственное строящееся поддерево последовательно наращивается до построения остова.

Основные принципы построения минимального связывающего дерева (или кратчайшей связывающей сети) при наличии ограничений на локальные степени вершин следующие.

В начале любая произвольная вершина соединяется с ближайшей соседней, образуя исходное поддерево. (Для определенности построения мини-мального дерева можно начинать с ребра, инцидентного первой вершине, или с минимального ребра). На каждом последующем шаге к строящемуся поддереву присоединяют очередное ребро минимально возможной длины, связывающее новую, еще не присоединенную вершинус одной из вершин поддеревьев, локальная степень которой.

Для реализации алгоритма составляют матрицу расстояний , элементкоторой вычисляют по одной из формул (5.1) или (5.2). Просматривают элементы первой строки матрицыD и находят минимальный элемент. Пусть таким оказался элемент g-го столбца, тогда весь 1-й и g-й столбцы матрицы D исключаются из рассмотрения, а первое соединение проводится между точками и. Просматриваются 1-я иg-я строки матрицы с оставшимися элементами. Из элементов этих строк находится минимальный. Предположим, что им оказался элемент, принадлежащий j-му столбцу. Если этот элемент находится на пересечении с первой строкой, то точку соединяем с 1-й точкой (), если же он находится на пересечении сg-й строкой, то точку соединяем сg-й (), после чего из матрицыD исключаем все элементы j-го столбца. Просматриваются 1-я, g-я и j-я строки и т. д.

Выполнение ограничения на локальную степень вершин обеспе-чивается проверкой в каждой просматриваемойi-ой строке числа уже выбранных для построения минимального дерева элементов – . Привсе оставшиеся элементыi-й строки исключаются из рассмотрения, т.е. эта строка удаляется.

АЛГОРИТМ

1. Вычислить элементы матрицы расстояний по одной из формул – (5.1) или (5.2).

2. Найти минимальный элемент матрицы , где;. Номера строки и столбцаq и p, на пересечении которых он находится, определяют номера вершин и, соединяемых ребром.

3. Занести номера вершин во множество , построенное ребро – во множество.

4. Подсчитать локальные степени и, подлежащих соединению на данном шаге вершини.

5. Проверить условие и. Индексы вершин, для которых это условие не выполняется, указывают номера строк матрицыD, которые необходимо исключить из рассмотрения.

6. Найти . Здесь,, т. е. среди еще не вошедших в дерево вершин отыскать вершину, минимально удаленную от некоторой вершины дерева.

7. Дополнить множества ;.

8. Проверить, все ли вершины графа соединены ветвями . Если условие выполняется, идти к 9, иначе – к 4.

Конец.