Iучасток 0x10,8м

Q(x₁)= P = 10 кН =const.

Поперечная сила на участке постоянна, поэтому эпюра изображается прямой, параллельной оси абсцисс и отсекающей от оси ординат отрезок, представляющий в масштабе силу Q = 10 кН.

M(x₁) = P x₁ = 10 x₁.

Изгибающий момент на участке изменяется по линейному закону. Для построения эпюры достаточно вычислить значения M(x)в двух сечениях, например, в начале и в конце рассматриваемого участка:

при x₁= 0,M(x₁) = 0, приx₁= 0,8 м,M(x₁) = 8 кНм.

Наносим эти значения на график и строим эпюру M(x).

IIучасток 0x2 0,8м

Q(x₂)= P + qx₂ = 10 + 20x₂ .

Сила меняется по линейному закону, на границах участка её значения равны:

при x₂ = 0,Q(x₂) = 10 кН, приx₂ = 0,8 м,Q(x₂) = 6 кН.

M(x₂) = P (x₂ + 0,8 )½q(x₂ )² = 10 (x₂ + 0,8 )10 (x₂ )².

Получили уравнение квадратной параболы. Эпюра M(x₂) изображается кривой, выпуклость которой направлена вверх, навстречу распределенной нагрузкеq. На границах участка имеем: приx₂ = 0, M(x₂) = 8 кНм, приx₂ = 0,8 м,M(x₂) =9,6 кНм.

Ввиду того, что на участке поперечная сила меняет знак, необходимо функцию M(x₂) исследовать на экстремум. Для этого первую производную от момента приравниваем к нулю:, откудаx₂ =м.

Подставляя значение x₂= 0,5 м в уравнениеM(x₂) получим:

M_max =10 (0,5 + 0,8)10 (0,5)²= 10,5 кНм.

IiIучасток 0,8x3 1,2м

Q(x₃)= P + qx₃ = 10 + 20x₃ .

при x₃ = 0,8 м,Q(x₃) =6 кН, приx₃ = 1,2 м,Q(x₃) = 14 кН.

Эпюра изображается наклонной прямой и так как q, то силаQвозрастает.

M(x₃) = P (x₃ + 0,8 )½q(x₃ )²  M = 10 ( x₃ + 0,8 )10 (x₃ )² 15,

при x₃ = 0,8 м,M(x₃) =5,4 кНм, приx₃ = 1,2 м,M(x₃) =9,4 кНм.

Эпюра M(x₃)изображается параболической кривой, не имеющей экстремума в пределах участка, и выпуклость которой обращена вверх.

2. Из построенной эпюры Mвидно, что опасным будет сечение на втором участке (x₂= 0,5м ), в котором изгибающий момент достигает значенияM_max =10,5 кНм.

3. Подбираем деревянную балку круглого поперечного сечения из условия про-чности по нормальным напряжениям: _max  , где

и для круглого поперечного сечения.

Подставляя эти выражения в условие прочности получим ,

откуда

м, принимаемd= 24 см.

Задача 5б

Для заданной балки (рис. 12) требуется:

1. Записать аналитические выражения для поперечных сил Q(x)и изгибающих моментовM(x)на каждом участке.

2. Построить эпюры поперечных сил Qи изгибающих моментовM, найтиM_max.

3. Подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения из условия прочности по нормальным напряжениям при = 160 МПа.

Дано: l₂ = 10a = 10 м, a₁ = 4a = 4 м, a₂ = 8a = 8 м, a₃ = 2a = 2 м, M = 20 кНм, P = 10 кН, q = 5 кН/м.

Решение

1. Прежде чем записать аналитические выражения для поперечных сил Q(x)и изгибающих моментовM(x)необходимо вначале определить опорные реакции, так как они относятся к числу внешних сил.

Покажем на расчетной схеме балки (рис. 12) реакции опор R_AиR_B, направив их вверх. Горизонтальная составляющая реакции на опореАравна нулю, так как внешние активные силы перпендикулярны оси балки. Для определения реакций составим уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точекАиВ.

 М(А)= 0,  ½q(a₂)²  M  P (l₂ +a₃) + R_B l₂ = 0.

R_B кН.

 М(В)= 0,  R_А l₂ + q a₂ ( l₂ ½ a₂)  M  P a₃ = 0.

R_А кН.

Для проверки найденных значений реакций R_АиR_Bсоставим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось:

 Р = R_А  q a₂ +R_B P = 2058 +3010 = 0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Разобьем балку на четыре участка и для каждого запишем аналитические выражения для поперечных сил Q(x)и изгибающих моментовM(x).