Примеры решения задач

Задача 1

Для заданного поперечного сечения (рис. 6), состоящего из равнополочного уголка 80 808 (№8 ГОСТ 8509-86) и швеллера №12 (ГОСТ 8240-89), требуется:

1. Вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры в числах. Не следует заменять части профилей прямоугольниками.

2. Определить положение центра тяжести сечения.

3. Найти осевые и центробежный момент инерции относительно случайных осей X и Y, проходящих через центр тяжести.

4. Определить направление главных центральных осей U и V.

5. Найти моменты инерции относительно главных центральных осей.

Решение

1. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:2. Требуемые для этого размеры и координаты центров тяжести берем из сортамента прокатной стали. Каждому профилю присваиваем порядковый номер и через центры тяжести C₁иC₂проводим горизонтальныеX₁,X₂ и вертикальныеY₁,Y₂ оси координат. Выбираем вспомогательные координатные осиX₂OY₁и выписываем все необходимые геометрические характеристики для каждого профиля:

Равнополочный уголок 80808 (ГОСТ 8509-86):F₁= 12,3 см²; = 2,27см;

=43,0см⁴; = = 73,36 см⁴;I_max= 116,39 см⁴;I_min= 30,32 см⁴;x₁ = 0;y₁=+= 2,27+1,54 = 3,81 см. В справочных данных о сортаменте прокатной стали, изданных до 1986 г, значения для центробежного момента инерции не приводятся. В этом случае для вычисления используем формулу .Знак центробежного момента инерции относительно центральных осей зависит от расположения уголка и может быть определен по рис. 7.

В рассматриваемом примере 43 см⁴.

Швеллер №12 (ГОСТ 8240-89): F₂= 13,3 см²;h = 12 см;b = 5,2 см; = 0; = 31,2 см⁴; 304 см⁴;y₂= 0;x₂ = 0,5h = 0,5122,27 = 3,73 см; =1,54 см

П р и м е ч а н и е. Во избежание ошибок следует обращать внимание на расположение стандартных профилей в сечении. Различное обозначение координатных осей, принятое в ГОСТ и в выполняемом задании, может привести к изменению величины и знака моментов инерции. Так, положение швеллера в рассматриваемой задаче отлично от его изображения в ГОСТ, поэтому в моментах инерции индексы «x» должны быть заменены на «y» и наоборот. Это же замечание относится к знаку центробежного момента инерции уголка.

2.Определяем положение центра тяжести сечения в системе координатX₂OY₁.

см;

см.

Центр тяжести сечения (точка С) должен лежать на линииС₁С₂. Через точкуСпроводим центральные осиXиY, параллельные вспомогательным осямX₂ иY₁. Вычисляем координаты центров тяжести каждого профиля относительно осейXиY.

a₁ = y₁  y_c = 3,811,83 = 1,98 см; a₂ = y_c = 1,83 см;

b₁ =  x_c =  1,94 см; b₂ = x₂  x_c = 3,73  1,94 = 1,79 см.

Проверка: a₁  a₂ = b₁  b₂ = F₂  F₁; 1,98  1,83 = 1,94  1,79 = 13,3  12,3 = 1,08.

3. Вычисляем осевые и центробежный момент инерции всего сечения относительно центральных осей.

=+(a₁)²F₁ ++ (a₂)²F₂ = 73,36 + (1,98)²12,3 + 31,2 + (1,83)²13,3 = 197,32 см⁴;

=+(b₁)²F₁ ++( b₂)²F₂ = 73,36 + (1,94)²12,3 + 304 + (1,79)²13,3 = 466,27 см⁴;

= +a₁b₁F₁ + + a₂b₂F₂=

= 43 + 1,98(1,94)12,3 + 0 + (1,83)1,7913,3 =133,81 см⁴.

4. Определяем угол наклона главных центральных осей U и V.

;

2 = arctq (0,955) = 44⁰ 52^; = 22⁰ 26^.

Так как угол  , то осиXСY, следует повернуть по часовой стрелке, чтобы они стали главными центральными осями инерции.

5. Вычисляем моменты инерции относительно главных центральных осей

= =.

Так как I_x  I_y,, тоI_max = I_v = 521,5 см⁴,I_min = I_u =142,09 см⁴.

Проверка: I_x+ I_y=I_v+I_u,

I_x+ I_y= 197,32 + 466,27 = 663,59 см⁴;I_v+I_u = 521,5 + 142,09 = 663,59 см⁴.

Задача 2

Стальной стержень (Е =210⁵МПа)cплощадью поперечного сеченияF= 10 см² и размерами:a = 2м,b = 1м,c = 2м, находится под действием трех сосредоточенных силР₁ = 3 кН,Р₂= 4 кН, Р₃= 3 кН, направленных вдоль его оси (рис. 8). Требуется:

1. Построить эпюру продольных сил N.

2. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюрупо длине стержня.

3. Построить эпюру перемещений поперечных сечений.

Решение

1. Строим эпюру продольных сил N. Для этого разбиваем стержень на три участка и для каждого из них записываем выражение дляN. Используя метод сечений, каждый раз будем рассматривать силы, расположенные со стороны свободного концастержня. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение отсеченной части и отрицательной, если вызывает ее сжатие.

Участок CD: N_CD = P₁ = 3 кН.

Участок BC: N_BC = P₁ – P₂ = 3 – 4 = –1 кН.

Участок AB: N_AB = P₁ – P₂ + P₃ = 3 – 4 + 3 = 2 кН.

2. Определяем нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня и строим эпюру.

Участок CD: _CD = N_CD / 2F = 310³ / 21010^4= 1,510⁶Па = 1,5 МПа.

Участок BC: _BC = N_BC / F =110³ / 1010^4=1,010⁶Па =1 МПа.

Участок AB: _AB = N_AB / 2F = 210³ / 21010^4= 1,010⁶Па = 1 МПа.

3. Определяем перемещения поперечных сечений относительно неподвижного сеченияА.Перемещение произвольного сечения с абсциссойxна участкеABможно определить по формуле:

 (x)= N_AB  x / 2EF = _AB  x / E.

При x= 0,_А = 0; приx=c= 2 м, _В = 12 / 210⁵= 110^5 м = 0,01 мм.

Так как перемещения по длине стержня меняются по линейному закону, то для построения эпюры достаточно вычислить перемещения только граничных сеченийB,C иD.

 _В =0,01 мм,

_C = _В + _BC  b / E= 110^5 11 / 210⁵= 0,510^5 м = 0,005 мм,

_D = _C + _CD  a / E= 0,510^5 +1,52 / 210⁵= 2,010^5 м = 0,02 мм.

Задача 3

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 9а). Требуется:

1. Установить степень статической неопределимости системы.

2. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q, если

F = 10 см². (Для определения двух неизвестных усилий в стержнях следует составить одно уравнение статики и одно дополнительное уравнение из условия совместности деформаций стержней).

3. Найти допускаемую нагрузку Q_доп, приравняв большее из напряжений в стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа (расчет по допускаемым напряжениям).

4. Найти предельную грузоподъемность системы в предположении, что напряжения в стержнях достигли предела текучести_Т = 240 МПа.

5. Найти допускаемую нагрузку , приняв коэффициент запаса прочностиk = 1,5 (расчет по допускаемым нагрузкам).

6. Сравнить значения допускаемой нагрузки, найденные при расчете по допускаемым напряжениям Q_доп(см. п.3) и допускаемым нагрузкам(см. п.5).

Решение

1. Рассматриваемая система один раз статически неопределима, так как для определения четырех неизвестных усилий ( N₁, N₂, V_A, H_A ) имеем три независимых уравнения статики ( X= 0,  Y= 0,  M= 0 ).

2. Для определения усилий в стержнях N₁иN₂запишем уравнение равновесия: M_А = N₁ a + N₂ cos45⁰(a + c)  Q (a + 2c) = 0;

N₁2,5 + N₂  cos45⁰(2,5 + 2)  Q (2,5 + 22) = 0;

2,5N₁+ 3,182N₂ = 6,5Q. (1)

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию системы, предполагая, что абсолютно жесткий брус AD, оставаясь прямым, повернется относительно опорыA(рис. 9б). Из подобия треугольниковABB₁иADD₁находим:

 l₁ / a =  l₂ / cos45⁰ ( a + c ) или l₁ =  l₂ a / cos45⁰ ( a + c).

Деформации стержней  l₁и l₂выражаем через усилияN₁иN₂по закону Гука

,.

После подстановки в условие совместности получаем дополнительное уравнение:

илиN₁= 0,555N₂. (2 )

Таким образом, получаем систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными N₁иN₂, решая которую находим: N₁ = 0,79 Q , N₂ = 1,422Q.

Напряжения в стержнях

₍₁₎ = N₁ / F₁ = 0,79 Q / 1010^4 = 790Q ,

₍₂₎ = N₂ / F₂ = 1,422 Q / 2010^4 = 711Q.

3. Находим допускаемую нагрузку Q_доп, приравняв большее из напряжений в стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа (расчет по допускаемым напряжениям).

Так как ₍₁₎  ₍₂₎ ,то 790Q_доп   ;Q_доп=  / 790 = 16010⁶/ 790 =202530 Н.

4. Находим предельную грузоподъемность системы в предположении, что напряжения в стержнях достигли предела текучести_Т = 240 МПа. Для этого в уравнении равновесия (1) заменим усилияN₁иN₂их предельными значениями:

N₁ = _ТF, N₂ = _Т2F, 2,5_ТF + 3,182_Т2F = 6,5,

=_ТF (2,5 + 3,1822 ) / 6,5 = 24010⁶1010^{ 4}8,864 / 6,5 = 327286H.

5. Находим допускаемую нагрузку , приняв коэффициент запаса прочностиk = 1,5 (расчет по допускаемым нагрузкам).=/k = 327286 / 1,5 = 218191H.

6. Сравниваем значения допускаемой нагрузки, найденные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам

/ =218191 / 202530 =1,08,

следовательно, расчет по предельному состоянию более экономичен.

Задача 4

К стальному валу приложены три известных момента M₁ = 2 кНм, M₂ = 2 кНм, M₃= 1 кНм (рис. 10а). Требуется:

1. Установить, при каком значении момента Xугол поворота правого концевого сечения вала равен нулю.

2. Для найденного значения момента Xпостроить эпюру крутящих моментов.

3. При заданном  = 80 МПа определить из условия прочности диаметр вала и округлить его до ближайшей большей величины, равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.

4. Построить эпюру углов закручивания (G= 810⁴ МПа).

5. Найти наибольший относительный угол закручивания (на 1м длины).

Решение

1. Установим, при каком значении момента Xугол поворота правого концевого сечения вала_К равен нулю. В соответствии с принципом независимости действия сил имеем:

,

кНм.

2 Разбиваем вал на четыре участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние моменты. Реакцию в заделке не вычисляем, так как при определении крутящих моментов М_Кна каждом участке можно рассматривать часть вала со стороны свободного конца.

Участок DK =X = 0,5 кНм.

Участок CD = X + M₃ = 0,5 + 1 = 1,5 кНм.

Участок BC = X+ M₃ M₂ = 0,5 + 12 =0,5 кНм.

Участок AB = X + M₃ M₂ M₁ = 0,5 + 12 2 =2,5 кНм.

По результатам вычислений строим эпюру (рис. 10б).

3. Определяем диаметр вала из условия прочности

_max   , или  ,

где - полярный момент сопротивления площади поперечного сечения, - наибольший по величине крутящий момент, возникает на участкеAB: = = 2,5 кНм. После подстановки получим

м = 54,2 мм. Принимаемd = 60 мм. Вычисляем крутильную жесткость валаGI_P = G, где для сталиG= 810⁴МПа.

GI_P = 810⁴10⁶ = 101,7410³Нм².

4. Определяем углы закручивания граничных сечений A, B, C, D, K и по результатам строим эпюру (рис. 10в).

Угол закручивания сечения Kравен нулю по условию задачи _К= 0.

Сечение D рад.

Сечение C рад.

Сечение Bрад.

Сечение A .

Равенство нулю угла закручивания сечения A, подтверждает правильность выполненных расчетов, так как это сечение находится в заделке и_А = 0.

5. Находим наибольший относительный угол закручивания:

рад / м.

Задача 5а

Для заданной балки (рис. 11) требуется:

1. Записать аналитические выражения для поперечных сил Q(x)и изгибающих моментовM(x)на каждом участке.

2. Построить эпюры поперечных сил Qи изгибающих моментовM, найтиM_max.

3. Подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения из условия про-чности по нормальным напряжениям при  = 8 МПа.

Дано: l₁ =10a =2м, a₁ =2a = 0,4м, a₂ =6a =1,2м, M =15 кНм, P=10 кН, q =20 кН/м.

Решение

1. Балка имеет три участка нагружения, для каждого из которых запишем аналитические выражения для поперечных сил Q(x)и изгибающих моментовM(x). Расчет будем вести по нагрузкам, расположенным со стороны свободного конца балки, что позволяет обойтись без определения опорных реакций.