§ 4. Выражение суждений на языке логики предикатов

Для установления отношений между суждениями, в том числе и отношения логического следования, а также для решения вопросов о том, является ли суждение логически истинным, логически ложным или логически выполнимым используется логика предикатов. При пользовании этой логикой суждения переводятся на ее язык.

Язык логики предикатов

Алфавит:

а) р, q, r, s, p, ... — пропозициональные переменные;

б) а, b, с, d, a, b ... — индивидные константы;

в) х, у, z, х, y, ... — индивидные переменные;

г) P, Q^k, R^k, S^k, P , Q , ... — k-местные предикаторные символы (k = 1, 2, 3, ...);

д) f, q^k, f, q, f , … - k-местные предметные функторы (символы для знаков k-местных предметных функций);

е) , , , , — логические термины;

ж) , — логические термины, называемые соответственно квантором общности и квантором существования. Читаются «все» («каждый»), «существует» («некоторые»);

з) (, ) — скобки;

и), — запятая.

Выражения языка логика предикатов называются формулами. Среди формул выделяют правильно построенные (ППФ).

Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма:

а) индивидные константы и индивидные переменные являются термами;

б) если t ..., t_k — термы, а F — знак k-местной предметной функции, F^k (t, ..., t_k) — терм;

в) ничто иное не является термом.

Определение ППФ:

а) пропозициональный символ является ППФ;

б) если t ..., t_k — термы, а А — k- местный предикатор, то A^k (t_;... , t) - ППФ;

в) если А и В — ППФ, а — индивидная переменная, то А, (В С), (В С), (A В), (А В), A, А - ППФ;

г) ничто иное не является ППФ.

Практические задания к теме

Упражнение 11. Определите вид модальности в следующих суждениях:

1. Чтобы быть здоровым необходимо есть здоровые продукты. 2. Невозможно, что бы все одновременно были счастливы. 3. Раньше других он приходит домой. 4. Это лучше чем было. 5. Безразлично где его осудят.

Упражнение 12. Какими (логическими или фактическими) являются алетические модальные понятия в следующих суждениях, если суждения принимаются за истинные?

1. Возможно, что на спутниках Юпитера есть жизнь. 2. Необходимо, что на Луне нет жизни. 3. Необходимо, что больной будет жить или не будет жить. 4. Необходимо, что треугольник является остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. 5. Необходимо, что все планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей оси. 6. Возможно, что некоторые студенты нашей группы окончат университет с отличием. 7. Жизнь на Земле возникла случайно.

Упражнение 13. В каком отношении находятся суждения?(по логическому квадрату)

1. Возможно все инопланетяне — разумные существа. Вероятно некоторые инопланетяне не являются разумными существами. 2. Некоторые журналисты обладают ораторскими способностями. Некоторые журналисты не обладают ораторскими способностями. 3. Каждому студенту необходимо знать какой-то иностранный язык. Каждый студент не знает некоторых иностранных языков. 4. Некоторые студенты обязательно сдают все экзамены. Каждый студент обязательно не сдает некоторых экзаменов. 5. Каждый студент знает некоторые европейские языки лучше некоторых восточных языков. Некоторые студенты не знают некоторые европейские языки лучше некоторых восточных языков. 6. Если тело является кристаллическим, то оно имеет определенную температуру плавления. Данное тело не является кристаллическим, поскольку оно не имеет определенной температуры плавления. 7. Если подсудимый виновен, то у него был сообщник. Подсудимый виновен, но у него не было сообщника.

Упражнение14 . Произведите отрицание следующих суждений согласно объединенной классификации простых категорических суждений.

1. Некоторые люди дышат жабрами. 2. Все свидетели дают правдивые показания. З.Ни один студент нашей группы не имеет высшего образования. 4. Некоторые прокуроры не имеют высшего образования. 5. Ни один член семьи Ивановых не является честным чело веком. 6. Каждый юрист знает некоторого математика. 7. Некоторые океаны имеют пресную воду. 8. Каждый юрист знает некоторого математика лучше, чем каждого логика. 9. Некоторые студенты нашей группы знают какой-нибудь древний язык. 10. Некоторые студенты нашей группы не знают ни одного Древнего языка. 11. Каждый студент изучает какую-нибудь науку. 12.Каждый адвокат знает некоторых прокуроров лучше, чем некоторых судей.

Упражнение 15. Произведите отрицание следующих сложных суждений и запишите отрицание формулой.

1. Все юристы изучают логику, и все философы изучают логику. 2. Иванов вошел в автобус, и ему стало плохо. 3. Потребитель получает изделие и (одновременно) расплачивается наличными. 4. Идет дождь или идет снег. 5.Либо Петров совершил это преступление, либо Сидоров. 6. Он и жнец, и на дуде игрец. 7.Электричка бежит, или ветер свистит. 8. Идет дождь, и идет снег. 9. Он хороший спортсмен или хороший студент. 10. Если Иванов имеет высшее образование, то он знает какой-нибудь иностранный язык. 11.Если стальное колесо нагреть, то диаметр его увеличится. 12.Если человек закаляется, то он здоров. 13.Если воду охлаждать, то объем ее будет уменьшаться. 14.Либо материя порождает сознание, либо сознание порождает материю. 15.Если заболевание находится в зачаточном состоянии, то его трудно распознать, но легко излечить. 16.Вселенная не имела начала во времени и всегда пре бывала в одном и том же состоянии. 17.Хороший писатель — пьющий писатель, пьющий писатель — хороший писатель.

Упражнение 16. Правильно ли произведена операция отрицания суждения в диалоге?

«—Да ведь народ бедствует. Вот я сейчас из деревни приехал. Разве это надо, чтобы мужики работали из последних сил и не ели досыта, а чтобы мы жили в страшной роскоши, — говорил Нехлюдов, невольно добродушием тетушки вовлекаемый в желание высказать ей все, что он думал.

— А ты что же хочешь, чтобы я работала и ничего не ела?

—Нет, я не хочу, чтоб вы не кушали, — невольно улыбаясь, отвечал Нехлюдов, — а хочу только, чтобы мы все работали и все кушали» (Толстой Л. Воскресение // Собр. соч.: В 20 т. М., 1984. Т. 10. С. 263).

Упражнение 17. Какие из следующих выражений являют­ся ППФ, а какие нет?

1. x (S (х) Р (x)).

2. R (а, Ь).

3. x y R(x, у).

4. ( S(a) Q (a)).

5. ( S (a) P.

6. Р Q.

7. (р (q r)).

8. x R (x, a).

Упражнение 18. Переведите на язык логики предикатов следующие простые категорические суждения.

1. Иванов является смертным существом. 2. Все люди — смертные существа. 3. Ни один человек не является смертным существом. 4. Некоторые люди суть смертные существа. 5. Некоторые люди не суть смертные существа.

Упражнение 19. Переведите на язык логики предикатов следующие сложные суждения.

1. Каждый юрист знает какого-нибудь (некоторого) логика. 2. Некоторые юристы знают каждого логика лучше, чем каждого агронома. 3.Если необходимо, что все люди смертны, то необходимо, что некоторые люди смертны. 4. Все студенты нашей группы являются отличниками, и некоторые из студентов нашей группы изучают древние языки. 5.Некоторые студенты не знают некоторых преподавателей. 6.Некоторые журналисты знают некоторых экономистов лучше, чем некоторых юристов. 7.Всякое положительное число больше любого отрицательного числа. 8. Ни один член семьи Ивановых не является честным человеком. 9.Только недогматические философы склонны к рассуждениям. 10.Философы-идеалисты, которые считают первичным дух, а не материю, заблуждаются. И.Все экономисты изучают логику, а некоторые экономисты изучают математику. 12.Либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого. 13.Все водные животные, кроме китов и дельфинов, холоднокровные.

Упражнение 20. Переведите на язык логики предикатов следующие выражения.

1. Сократ. 2. Отец Сократа. 3. Отец отца Сократа. 4. Возраст Сократа. 5. Население Москвы больше населения Тулы. 6. Разница между населением Москвы и населением Тулы.

Ответы для упражнений 15, 17 темы сложное суждение.

Упражнение 15.

1. Суждение «Все юристы изучают логику, и все философы изучают логику» является (неопределенно) конъюнктивным. Результатом отрицания конъюнктивного суждения является дизъюнктивное суждение, в котором составляющие суждения являются отрицаниями составляющих суждений исходного конъюнктивного суждения, то есть отрицая суждение формы А В, получаем суждение формы AB. Иначе: (А В)(АВ).

Результатом отрицания исходного суждения является суждение «Некоторые юристы не изучают логику или некоторые философы не изучают логику».

2. Суждение «Иванов вошел в автобус, и ему стало плохо» является по следовательно-конъюнктивным. Это суждение отрицается по следующей схеме: . Результатом отрицания исходного суждения является суждение «Иванов не входил в автобус или ему не было плохо, или сначала ему стало плохо, а затем он вошел в автобус».

3. Суждение «Потребитель получает изделие и (одновременно) расплачивается наличными» является последовательно-конъюнктивным. Оно отрицается по следующей схеме:

Отрицанием исходного суждения является суждение «Потребитель не получает изделия или не расплачивается наличными, или он сначала получает изделие, а потом расплачивается наличными, или же он сначала расплачивается наличными, а потом получает изделие».

4. Суждение «Идет дождь или идет снег» — (нестрого) дизъюнктивное. Результатом отрицания (нестрого) дизъюнктивного суждения является конъюнктивное суждение, в котором составляющие суждения являются отрицаниями составляющих суждений дизъюнктивного суждения. Результатом отрицания исходного суждения является суждение «Нет дождя, и нет снега». То есть, отрицая суждение формы AВ, получаем суждение формы . Иначе:.

5. Суждение «Либо Петров совершил это преступление, либо Сидоров» является строго-дизъюнктивным. Строго-дизъюнктивные суждения отрицаются в соответствии со следующими схемами: ;

и т. д.

Результатом отрицания исходного суждения является суждение «Это преступление совершили Петров и Сидоров совместно или ни тот, ни другой не совершали этого преступления».

10. Суждение «Если Иванов имеет высшее образование, то он знает какой-нибудь иностранный язык» является импликативным. Результатом отрицания импликативного суждения является конъюнктивное суждение, в котором одним из составляющих суждений является антецедент исходного суждения, а вторым — отрицание консеквента исходного суждения. Отрицая суждение «Если Иванов имеет высшее образование, то он знает какой-нибудь иностранный язык», получим конъюнктивное суждение «Иванов имеет высшее образование и не знает ни одного иностранного языка», т. е., отрицая суждение формы АВ, получаем суждение формы АВ. Иначе: .

12. Суждение «Если человек закаляется, то он здоров» является условным. Условное суждение отрицается по следующей схеме: . Здесь « » — знак условного союза «если..., то...». Результатом отрицания исходного суждения является суждение «Возможно, что человек закаляется, но не является здоровым».

Упражнение 17.

1. Является ППФ. 2. Является ППФ. 3. Является ППФ. 4. Является ППФ.5. Не является ППФ. 6. Не является ППФ. 7. Является ППФ. 8. Являестя ППФ.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое суждение?

2. Какова связь суждения и предложения в языке?

3. Понятие структуры суждения, терминов суждения.

4. Какие бывают виды суждений по характеру предиката?

5. Как делятся атрибутивные суждения по качеству и количеству?

6. Каким образом распределяются субъект и предикат в атрибутивном суждении?

7. Назовите объединенную классификацию простых категорических суждений.

8. Каковы отношения между суждениями вида А, Е, I, О по логическому квадрату?

9. Что такое сложное суждение и каковы его виды?

10. Каковы принципы табличного определения сложного высказывания по значениям истинности и ложности?

11. Что такое модальные суждения?

12. Назовите виды модальности и их применение?

13. Каковы отношения между суждениями в процессе полемики?

14. Как происходит отрицание суждений?

15. Каково выражение суждений на языке логики предикатов?

16. Что такое правильно построенные формулы на языке логики предикатов?

Подписано к печати 2005г.

Печать офсетная. Бумага офсетная №1. Печ. л. 1,5. Уч.-метод. л.

Тираж 200 экз.

Заказ №

_______________________________________________________

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».

650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6.

Отпечатано в типографии издательства «Кузбассвузиздат». 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7.