Physics_(i)

Ликбез

1Элементарные функции

1.1Число e

e=2,718281...

1.2Функции

1.Постоянная функция C: y(x) = C.

2.Степенная функция xα

3.Многочлен степени n:

n

P (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn = X akxk,

k=0

1

где a0, a1, . . . , an - постоянные коэффициенты, а n - натураль-

ное число.

4. Рациональная функция:

R(x) = QP ((xx)),

где P (x) = a0 +a1x+a2x2 +. . .+anxn, Q(x) = b0 +b1x+b2x2 +

. . . + bmxn - многочлены (bm 6= 0).

Определена для всех x действительной оси, кроме нулей

Q(x).

5. Показательная функция ax (a>0) и обратная к ней лога-

рифмическая функция loga x: aloga x = x. Экспоненциальня функция (экспонента) ex и обратный к ней натуральный ло-

гарифм (логарифм по основанию e): lnx, elnx = x.

Свойства.

loga(xy) = loga(x)+loga(y); loga(xy ) = loga(x)−loga(y); loga(xb) = b loga(x) 6. Тригонометрические функции (в скобках - обозначения в англоязычной литературе).

2

sin x, cos x, tgx (tan x), ctgx.

Обратные тригонометрические функции arcsinx (sin(arcsinx) = x, arccosx (cos(arccosx) = x, arctgx (arctan x), arcctgx.

Простейшие формулы:

sin2 α + cos2 α = 1, sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β

Формула Эйлера

e±ix = cos x ± i sin x,

где i - мнимая единица (i2 = −1).

7. Гиперболические функции (в скобках - обозначения в ан-

глоязычной литературе).

Гиперболический синус

3

Гиперболический котангенс

cthx = 1 thx

Свойства

1.

ch2 − sh2 = 1 .

Гиперболические функции дают параметрическое предста-

вление гиперболы: x2 − y2 = 1 (x = cht, y = sht). 2.

sh(x ± y) = shxchy ± chxshy ch(x ± y) = chxchy ± shxshy.

Всякая функция, составленная из функций пп. 1-7 с помо-

щью операций сложения, вычитания, умножения, деления и функции от функции, если количество этих операций конеч-

но, называется элементарной функцией.

Непрерывность функции (Коши)

4

Функция y = f(x), заданная на отрезке [a, b], называется непрерывной в точке x этого отрезка, если приращение её y

в этой точке, соответствующее приращению x, т.е. f = y = f(x+ x)−f(x), стремится к нулю при любом способе стремления x к нулю. Это свойство записывается в одном

Если это условие не выполняется, то функция - разрывна в точке x.

2Производная

Понятие производной возникло при попытках решения та-

ких задач, как задача о вычислении скорости неравномерно-

го движения или о проведении касательной к кривой (Нью-

тон, Лейбниц, XVII в.). Современный математический ана-

лиз базируется на понятии предела (первая половина XIX в.,

Коши).

5

Мгновенная скорость.

Пусть точка движется по прямой и функция s = f(t) вы-

ражает зависимость от времени t её расстояния s до не-

которой начальной точки O прямой. В момент времени t

точка находится на расстоянии s = f(t) от О. В момент

Мгновенную или истинную скорость v точки в момент вре-

мени t естественно определить как предел, к которому стре-

мится v при t → 0:

Касательная к кривой.

Пусть непрерывная кривая Γ есть график непрерывной на интервале (a, b) функции y = f(x).

Зададим на кривой Γ точку A, имеющую абсциссу x, и

6

другую точку C, имеющую абсциссу x + x (Δx 6= 0). Через эти точки проведём прямую - секущую S. Будем считать, что положительному направлению S соответствует возрастание

x. Угол между этим направлением и положительной осью x

обозначим через β. Очевидно, что

Будем стремить x к нулю. Тогда, вследствие непрерыв-

ности f(x) к нулю будет стремиться и y, и точка C, двига-

ясь по кривой Γ, будет стремиться к точке A. Если окажется,

стремления x к нулю) к одному и тому же конечному зна-

чению k:

xy → k (Δx → 0),

то и угол β будет стремиться к некоторому углу α. Вместе с углом β и секущая S, вращаясь около точки A, будет стре-

миться занять в пределе положение направленной прямой T ,

проходящей через точку A под углом α с положительным

7

направлением оси x, - касательной к кривой Γ в точке A и

Таким образом, решение многих задач приводит к выпол-

нению одной и той же математической операции: нужно най-

ти предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, когда оно стремится к нулю. Эта операция и на-

зывается дифференцированием функции. Итак, производная

Рассмотренные примеры:

Скорость точки, движущейся по числовой прямой, в мо-

мент времени t, если координата её есть функция s = f(t),

равна v = s0 = f0(t).

Тангенс угла наклона α касательной к кривой, описывае-

мой функцией y = f(x), в точке x, и положительным напра-

влением оси x равен производной f0(x).

Некоторые формулы.

8

1. Постоянное число C, рассматриваемое как функция от x, имеет производную, равную нулю тождественно (при всех x):

3. (sin x)0 = cos x

.

Свойства.

Если функции u(x) и v(x) имеют производные в точке x,

9

Производная функции от функции.

F (x) = f(φ(x)), y = φ(x)

Если обе производные существуют, то

F 0(x) = f0(y)φ0(x).

2.1Дифференциал функции

Дифференциал функции f в точке x

dy = f0(x)dx

10