Physics_(i)

Дифференциал dx независимой переменной не зависит от x,

он равен x - произвольному приращению аргумента x. Диф-

ференциал же dy функции y зависит от x и dx.

Очевидно:

d(u ± v) = (u ± v)0dx = u0dx ± v0dx = du ± dv; d(uv) = (uv)0dx = (uv0 + u0v)dx = udv + vdu

2.2Производные элементарных функций

3Интеграл

а. Неопределённый интеграл.

Z

f(x)dx = F (x) + C, F (x)0 = f(x), C = const

11

F (x) - первообразная.

Свойства.

ZZ

af(x)dx = a f(x)dx, a = const;

Z Z Z

(f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx;

Интегрирование по частям если

f(x) = u(x)V (x),

то

Z Z Z Z

f(x)dx = u(x)V (x)dx = udv = uv − vdu,

где V (x) - первообразная v(x).

Постановка: если x = φ(t), то

ZZ

f(x)dx = f[φ(t)] ∙ φ0(t)dt

Простейшие интегралы

12

Z

exdx = ex + C;

Z axdx = ax + C; ln a

Z

sin xdx = − cos x + C;

б. Определённый интеграл.

Если R f(x)dx = F (x) + C, то справедлива формула Нью-

тона Лейбница

Z b

f(x)dx = F (x)|b ≡ F (a) − F (b)

a a

Геометрический смысл.

Z b

f(x)dx = S

a

, где S - площадь под кривой f(x) между точками a и b на оси x.

Подстановка x = φ(t):

13

4Разложение функции в ряд Тейлора

1.Пусть f(x) - действительная функция, имеющая в интерва-

ле a ≤ x < b или −b < x ≤ a, b < x < xˉ < a n-ю производную f(n)(x). В этом случае f(x) можно представить в виде

14

и ряд равномерно сходится к f(x) на любом |x − a| < h.

5Алгебраические уравнения

Уравнение

f(x) = 0

с неизвестными x, где

а коэффициенты ai - действительные или комплексные числа,

называется алгебраическим уравнением степни n с неизвест-

ным x; f(x) - многочлен степени n относительно x (целая рациональная функция). Коэффициент a0 - свободный член многочлена.

Значение x = x1 есть корень кратности (порядка) m (крат-

ный корень, если m > 1) уравнения (9) (нуль порядка m

функции f(x)) если

f(x) = g(x)(x − x1)m,

где g(x) - многочлен и g(x1) 6= 0.

15

Алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n кор-

ней, если корень кратности m считать m раз (основная те-

орема алгебры многочленов). Полное решение уравнения (9)

указывает все корни вместе с их кратностями.

Общие формулы, выражающие корни алгебраических урав-

нений через их коэффициенты и содержащие только конеч-

ное число сложений, вычитаний, умножений, делений и из-

влечений корня, существуют только для уравнений первой,

второй, третьей и четвёртой степени (Эварист Галуа).

Алгебраическое уравнение (9) называется действительным,

если все его коэффициенты ai - действительные числа.

Комплексные корни действительного алгебраического урав-

нения появляются парами комплексных сопряжённых чисел.

Действительное алгебраическое уравнение нечётной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Каждый (действительный или комплексный) многочлен f(x) степени n относительно x может быть единственным образом представлен в виде произведения постоянной и n ли-

16

нейных множителей (x − αk), а именно

f(x) ≡ anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ≡ anΠnk=1(x − xk),

где xk - корни многочлена f(x); корню xk кратности mk со-

ответствует mk множителей (x − xk).

17

6Теорема Лагранжа, теорема Ролля

Если f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b),

то в интервале (a, b) существует такое x, что

При f(a) = f(b) (f0(x) = 0) - теорема Ролля.

18

7 Извлечение корня

где a - комплексное число, n - натуральное число. Пусть a =

ρeiθ, z = reiφ. Тогда

rneinφ = ρeiθ.

Отсюда следует, что rn = ρ, nφ = θ + 2kπ. Тогда имеем

Среди чисел zk ровно n различных. Действительно, числа z0, z1, . . . , zn−1 различны, так как их аргументы различны и отличаются друг от друга меньше, чем на 2π (z1 = z2 только,

если |z1| = |z2| и argz1 = argz2 + 2kπ), где k - целое:

Далее zn = z0, так как φn = Φ0 + 2π. Аналогично zn+1 = z1, z−1 = zn−1 и т.д.

19

Таким образом, уравнение (4) имеет ровно n различных корней:

На комплексной плоскости эти точки расположены в верши-

нах правильного n-угольника, вписанного в окружность ра-

1

диуса ρn с центром в точке 0.

Замечание. Комплексное число z называется корнем n-й

степени из числа a, если zn = a. При a 6= 0 имеется ровно n

различных корней n-й степени из числа a.

8О числе арифметических операций (ме-

тод Гаусса)

Порядок числа операций (при больших n) определяется сум-

мой

N

X k2.

k=1

20