Avtomatizatsia_lektsii / 2_3

2.3 Уравнение регулируемого объекта САР

Переходные характеристики объектов

Ступенчатое изменение нагрузки вызывает в объекте переходный процесс. При этом в объектах без самовыравнивания регулируемый параметр будет изменяться с определенной скоростью, беспредельно увеличиваясь (рис. 13,б). В объектах с самовыравниванием, как мы видели, скорость постепенно уменьшается и становится равной нулю, т. е. регулируемый параметр принимает новое установившееся значение (рис. 13,в).

Для правильного выбора автоматического регулятора надо знать не только установившиеся значения регулируемого параметра (статическую характеристику), но и переходную (динамическую) характеристику X = f(τ): скорость изменения параметра, время перехода из одного установившегося состояния в другое и значения параметра X в переходном процессе. Чтобы найти переходную характеристику, надо составить дифференциальное уравнение объекта и, проинтегрировав, решить его.

Составим дифференциальное уравнение для одноемкостного объекта без самовыравнивания (см. рис. 11,а). Нарушение

равновесия между нагрузкой и регулирующим воздействием (например, М_н>М_р) приводит к тому, что за небольшой промежуток времени dτ в объекте накапливается жидкость (М_н—M_p)dτ, которая займет дополнительный объем CdX, где С — площадь поверхности жидкости в сосуде, a dX — повышение уровня. Приравнивая количество поступившей жидкости к изменению объема, получим дифференциальное уравнение одноемкостного объекта

(М_н—M_p) dτ = CdX. (2.13)

Интегрирование этого уравнения позволяет найти зависимость изменения параметра X от времени. После ступенчатого изменения, нагрузки М_н и М_р останутся постоянными, поскольку они не зависят от уровня X. Площадь поверхности цилиндра С также постоянна. Поэтому, интегрируя уравнение (1.13), получим

Х=(М_н-М_р) τ /С+Х₀, (2.14)

где Х₀ — постоянная интегрирования.

В начальном положении (при M_н0=M_р0) Х=Х₀. При ступенчатом изменении нагрузки (М_н>М_p) высота уровня неограниченно возрастает со скоростью (X—Х₀)/τ, равной (М_н—M_р)/C.

Решение дифференциального уравнения (2.13) объекта с самовыравниванием (см. рис. 10,а) несколько сложнее, так как М_р зависит от X. Если записать уравнение (1.13) для начальной точки (M_н=M_н0, М_р=М_р0 и Х=Х₀) и вычесть его из уравнения (1.13), получим

. (2.15)

Зависимость расхода жидкости М_р от высоты уровня определяется уравнением (1.8). Однако для небольших отклонений параметра вблизи точки Х₀ с некоторым приближением нелинейную зависимость можно заменить линейной (линеаризация). Из определения коэффициента самовыравнивания

ΔМ_р = ρΔХ . (2.16)

Значение можно найти из уравнения (2.8), взяв производную от М_р по X, считая другие параметры постоянными, и подставив в нее вместо X значение Х₀. Подставив значение ΔМ_Р из уравнения (2.16) в уравнение (2.15) и разделив на ρ и на dτ с учетом того, что dx=dΔX, получим

(2.17)

Чтобы привести это уравнение к безразмерной форме, разделим все члены на Х₀, а правую часть умножим и разделим на М_н0. Приняв во внимание, что ΔХ/Х₀=х и ΔM_н/M_н0 = μ (безразмерные координаты), получим

(2.18)

где — величина, имеющая размерность времени и называемая постоянной времени; k=M_н0/ρX₀ — коэффициент усиления объекта в безразмерной форме.

Для получения переходной характеристики надо задать определенную ступенчатую нагрузку μ₁ (рис. 13,а) и решить дифференциальное уравнение (2.18). После интегрирования получим

, (2.19)

где — новое установившееся значение регулируемого параметра, так как при τ= второй член уравнения обращается в нуль; е — основание натуральных логарифмов (е=2,718).

Кривая, построенная по этому уравнению, является экспонентой (см. рис. 13,в). Задаваясь значениями времени τ=T, τ =2Т, τ = 3T и т. д., мы видим, что соответствующие значения регулируемого параметра очень быстро приближаются к своему установившемуся значению. Практически время перехода из одного установившегося состояния в другое τ_пер, называемое переходным или инерционным запаздыванием («время разгона»), не превышает 4Т: τ_пер (3..4)Т, так как при этом х(0,95..0,98)х_ст, где х_ст — статическая ошибка в безразмерных координатах.

Значение постоянной времени Т можно определить также по экспериментально снятой характеристике переходного процесса. Экспонента обладает следующим свойством: проекции касательных, проведенных к любой точке кривой, на линию установившегося значения равны между собой и имеют значение постоянной времени. Следовательно, если провести касательную в точке τ=0, то постоянную времени можно определить как время, через которое регулируемая величина достигнет своего установившегося значения, если она будет изменяться с начальной скоростью.

Для определения по кривой разгона коэффициента усиления k надо взять отношение х_ст1 к μ₁. Зная k и Т, можно найти уравнения объекта (2.18) и (2.19).

Любой объект или другой элемент системы, описываемый дифференциальном уравнением (2.18), называют инерционным звеном, так как переход из одного установившегося состояния в другое происходит не мгновенно, а за некоторое время (инерционное запаздывание). Такое звено называют еще апериодическим, поскольку переход из начального в новое установившееся состояние происходит плавно, без колебаний.

Двухъемкостный объект описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Например, холодильная камера (см. рис. 12,а) с массивной изоляционной конструкцией относится уже не к одноемкостному объекту, а к двухъемкостному (вторым параметром является средняя температура изоляции t_из). При ступенчатом увеличении нагрузки (наружной температуры t_н) начинает прогреваться изоляция, а температура объекта t_об (на рис. 13,г безразмерный параметр х) почти не повышается. Затем изоляция отдает свою теплоту воздуху камеры и скорость возрастания t_об увеличивается. В точке А (точка перегиба) скорость достигает максимума и далее уменьшается; так, разность t_из—t_об уже небольшая.

Переходный процесс (см. рис. 13,г) можно получить и экспериментально: резко повысив наружную температуру, снимают далее показания t_об.

Для упрощения расчетов апериодический процесс второго порядка с некоторым приближением можно заменить инерционным звеном с начальным запаздыванием t₀ (рис. 13,д). Для этого в точке перегиба А проводят касательную. Отрезок 0—1 на оси τ определяет время начального запаздывания τ₀ (его называют чистым, или транспортным запаздыванием), т. е. время с момента ступенчатого изменения нагрузки до начала изменения регулируемого параметра. При этом отрезок 1'—2 на линии установившегося значения представляет собой постоянную времени Т.

В уравнении инерционного звена с запаздыванием в отличие от уравнения (2.19) аргумент заменен на (τ—τ₀):

, (2.20)

где для теплового объекта

х — безразмерный регулируемый параметр;

;

μ₁— безразмерная нагрузка;

;

k — коэффициент усиления;

Т — постоянная времени объекта;

m·с — теплоемкость объекта (при охлаждении нескольких тел с различной массой m_i и удельной теплоемкостью c_i вместо т·с берут сумму ) ρ_р и ρ_н — коэффициенты самовыравнивания, которые определяются по статической характеристике (см. рис. 12,б).

Влияние запаздывания особенно сказывается, когда нагрузка носит колебательный характер (рис. 13,е). В этом случае регулируемый параметр не только отстает по фазе на величину запаздывания τ₃, следуя за колебаниями нагрузки, но имеет максимальные отклонения х₁, значительно меньшие, чем при ступенчатой нагрузке такой же величины (рис. 13,ж).

Например, при цикличной работе компрессора температура испарителя (нагрузочный параметр) колеблется от —18 до 0°С (примерно по синусоиде). Температура в камере (регулируемый параметр) меняется от -5 до -2°С. При непрерывной же работе компрессора (ступенчатая нагрузка) температура в камере будет ниже (примерно —8°С).