17. Уровень Ферми как химический потенциал. Термодинамическая трактовка уровня Ферми.

Ф-ия распределения Ф-Д определяет степень заложения электронами состояний с энергией Еi, либо что то же самое величина ф-ии распределения Ф-Д определяется как

f_фд=n_i/g_i n_i – число электронов с данной энергией g_i – общее число состояний с этой энергией. Или

Общее число частиц в системе равно N=∑n_i. (3) А полная энергия системы равна E=∑n_i*E_i. (4) Свободная энергия всей системы в общем виде записывается F=E-TS (5). S- Энтропия системы. В соответствии с соотношением связывающим энтропию и т/д вероятность имеем F=E-KTlnW, W- общее число микросостояний. По средствам которых может быть реализововнно макросостояние с данной средней энергией. Величина W определяется полным числом возможных путей распределения частиц по фазовым состояниям.

В случае когда на каждом i-том урване энергии из g_i ячеек занято n_i ячеек. Общее число микросостояний W_i отвечающее одной и той же степени заполнения уровня E_i опеделяется как число сочетаний g_i по n_i.

Формула для полной вероятности.

С учетом этого получаем

С учетом соотношения Стирлинга в соответствии с которым lnN!=N*lnN-N, а так же принимая во внимание (2), (3), (4). После преобразований получаем для энтропии системы следующее выражение

Подставляем (10) в (5) получаем

Дифференцируем это соотношение по общему числу частиц.

а по орпеделению химический потенциал равен.

(ф13) таким образом уровень ферми есть не что иное как химический потенциал е, или их прциальня, мольная, свободная энергия.

E_F=μ_e

18. Водородоподобное приближение и метод эффективных масс при определнии мелких примесных уровней.

Для нахождения энергии ионизации электронов примесных атомов необходимо решить Ур-ние Шредингера для электронов в поле примесного иона и в периодическом поле решетки. При расчете глубины залегания мелких примесных уровней используется водородоподобное приближение и метод эффективных масс. Суть водородоподобного приближения состоит в том, что примесный ион рассматривается как точечный ион с эффективным зарядом ±1. +1 в случае донорного атома: -1 в случае акцепторного.

Т.о. фактически пренебрегается вкладом во взаимодействие с электроном или дыркой всех электронов внутренних оболочек примесного атома. Это приближение справедливо только при условии, что электрон или дырка достаточно удалены от примесного атома и в результате могут взаимодействовать с ним как с точечным зарядом. Из этого можно рассчитать потенциальную энергию избыточного электрона донорного атома в рамках кулоновского взаимодействия 2^ух точечных зарядов U(r)= -e²/εr ; r-соответствует радиусу водородоподобного атома. При расчете потенциала ионизации следует учесть, что электрон кроме кулоновского поля точечного иона примеси движется еще в периодическом поле кристаллической решетки п/п. Действие этого поля учитывается посредством введения эффективной массы. В результате водородоподобный радиус орбиты электрона равен где, a₀-радиус орбиты электрона в изолированном атоме водорода, т.е. боровской орбиты. В итоге потенциал приместного атома равен

Различие в энергиях ионизации примеси можно качественно учесть, если вместо энергии ионизации атома водорода подставить энергию ионизации собственного атома, вводимого в качестве примеси.