12. Критерий вырождения.

Число состояний N(E) составляет порядка 10²²см^-3. В то же время известно, что в п/п (ах) число свободных носителей n(E) находится в пределах 10¹²÷10¹⁸, т.е. n(E)<<N(E). Т.о. можно утверждать, что обычно вероятность заполнения состояний в разрешенных зонах п/п(а) <<1, т.е. ф-я распределения

Ф-Д

это возможно, если

тогда то ф-я Ф-Д

т.е. в собственном п/п(е) электронный газ в свободной зоне является невырожденным. Если в выражении для f энергию Е=Ес взять за нулевой отсчет энергии, то в этом случае получим ф-я Ф-Д =

Введем обозначение ; -безразмерная величина и называется приведенным уровнем ферми. характеризует степень вырождения. Из(2) следует, что если <0 следов. газ невырожден и подчиняется статистике Больцмана.

чем более отрицателен приведенный уровень Ферми тем ближе ф-ия распределения Ф-Д к функции распределения Максвелла-Больцмана, т.е. тем менее вырожден электронный газ.

Если условно считать величину = 10% доустимой, то граница вырождения будет соответствовать = -2, т.е. при < -2 газ невырожден, а при > -2 вырожден.

Итак, величина в данном случае является критерием вырождения.

13. Концентрация электронов и дырок в разрешенных зонах п\п(а).

В общем случае для числа электронов в свободной зоне п\п справедливо соотношение

Введем обозначения (E-E_c)/kT=x ; dx=dE/kT ;µ*=E_F/kT ; E_c=0

Тогда

Введем еще обозначения

N_c-эффективная плотность состояний в зоне проводимости -интеграл Ферми порядка ½.

Из этого следует

Ф_1/2(µ*)- в элементарных функциях не выражается. Для ряда важных практических случаев можно получить приближенное аналитическое выражение

1) -∞<µ*<-3

2) -3<µ*<5

3) 5<µ*<∞

Соответственно статистике Больцмана

для дырок

Nc,Nv-эффективные плотности состояний в зоне проводимости и в валентной зоне.

В невырожденных п\п(ах) концентрация свободных носителей мала по сравнению с

Nc и Nv. В вырожденных п\п(ах) эти параметры сравнимы. Концентрация носителей заряда будет больше в той зоне к которой ближе будет расположен уровень Ферми, носители заряда в ближайшей зоне будут основными.

В п\п(ах) n-типа уровень Ферми располагается в верхней половине З.З., а p-типа – в нижней.

Концентрация легких дырок Ge составляет 4,5%, а в Si 14% от общего числа дырок.

14. Уровень ферми в собственном п\п.

Для собственного п\п характерно равенство концентраций свободных носителей в разрешенных зонах. При Т=0К уровень ферми для собств. п\п располагается посередине З.З. В этом случае имеем n=p=n_i

откуда получаем

При Т=0К уровень Ферми для собственного П\П распролагается по средине между дном З.П. и потолком В.З. Из (6) Е_ф= -∆Е/2 если m_n*=m_p* положение уровня ферми не зависит от температуры и Е_F, лежит посредине З.З. при всех Т. Если же m_n*≠m_p*, то уровень Ферми отклоняется с ростом температуры в направлении зоны эфф.Масса которой меньше.

15. Закон действующих масс для носителей заряд. В п/п.

Из соотношения для уровня ферми в собственном п/п следует,

Сравнивая (2)и(3) получаем

Соотношение (4) - это выражение для закона действующих масс в невырожденном п\п. В невырожденном п\п при данной температуре n*p=const зависящая от св-в п\п через ∆Е m_n* и m_p* .

График зависимости

– практически прямая линия.

Т.к. зависимостью lnT по сравнению с линейным членом можно пренебречь.

Угол наклона этой примой определяется шириной З.З. tgφ= -∆Е/2k; ∆Е=2k*| tgφ|

При Т=300К получаем n_i^Si_=2*10¹⁰ см^-3 n_i^Ge_=2*10¹³ см^-3

16 Вырождение собственных п\п

Для в-в у которых m_n*=m_p* сочетание таких факторов как высокая температура и малая ширина ЗЗ означает что энергия E_f в собственной области отделена от каждой зоны энергетическим интервалом, соизмеримым с kT, но это делает незаконным замену каждого интеграла Ферми простой экспонентой.

Для того, чтобы выполнялось условие n₀=p₀= n_i необходимо чтобы величина

E_f –E_v ,была значительно больше величины E_с –E_f . Помимо того как T увеличивается этому условию можно удовлетворить лишь в случае, когда разность E_с –E_v становится отрицательным числом, что приводит к необходимости рассматривать проблему вырождения в ЗП. Для случая невырожденного п\п оба интеграла Ферми в выражениях для n и p были замены на exp. В случае вырождения в свободной зоне запишем интеграл Ферми в общем виде. отсюда получаем выражение для определения уровня Ферми если иметь в виду, что ∆Е=∆Е₀-αТ, где ∆Е₀- ширина ЗЗ. При Т=0К.В этом случае получаем .

Расчет концентрации собственных носителей без учета вырождения в одной из зон может привести к значительной ошибке.