Причины

Получается чередование АА^/ВВ^/СС^/. За счет того, что атомные плоскости из совокупностей {111} двух подрешеток находятся на расстоянии (а3)/12 и оно мало за счет малости а, то ретикулярная плотность плоскости {111} фактически удваивается.

Вывод: наиболее плотно упакованные плоскости{111}. Соответственно при равновестном росте кристаллы Si и Ge ограняются плоск. октаэдра.

9. Плотность состояний и энергия ферми свободного эл. Газа.

Электроны в кристалле обладает как кин, так и пот. энергией. Е_потзависит от пространственного расположения е. Допустим рассматриваемая нами система полностью локализована и имеет объем L³.

Ее состояние можно полностью охарактеризовать представлением о трехмерном фазовом пространстве импульсов.

Так как мы имеем дело с электронным газом мы должны учитывать квантовый характер, т.е. принцип неопределенности Гейзенберга и Паули.

Согласно первому принципу справедливы соотношения: ∆xPx≥h; ∆yPy≥h; ∆zPz≥h.

т.е. пространство импульсов должно быть разделено на ячейки h³/V. Каждая элементарная ячейка объемом h³/V представляет собой энергетическое состояние которое не может быть заполеннно больше чем 2-мя электронами с разными спинами согласно принципу Паули. Отсюда Vмин для N_e равен Vмин(N_e)=(Nh³)/2V. Значит даже при Т=0К. Электроны будут занимать состояния с ненулевой энергией при условии минимума энергии занятое состояние в пространстве импульсов образует сферу(сфера Ферми). Разобьем ее на кусочки с объемом равным h³/V. Выполняется равенство=>

при Т=0К; E_F=Emax; т.е. могут иметь энергию от Е=0 до Е=Е_F.

Температура Ферми T_F=E_F0/k.

Определим число состояний, которые представляются системе в интервале энергий от Е до E+dЕ. Из пространства импульсов видно, что число элементарных энергетических ячеек, которое может быть размещено в элементарном шаровом объеме будет пропорционален как радиусу, т.е. энергии, так и его толщине т.е. dE

Общая плотность состояний одиночного интервала энергий равна N(E)dE, N(E)- плотность состояний. Определим эту величину для свободного электронного газа, Объем сферы равен 4пP³/3, объем шарового слоя равен дифференциалу 4пP²dP. Число состояний в этом слое N(P)dP можно получить если объем шарового слоя разделить на объем элементарной ячейки и умножить на 2 т.к. в каждой ячейке по 2 электр.

перейдем к N(E)dE; ;

,

т.е. плотность состояний параболическая функция энергии

10. Функция распределения ферми Дирака и ее свойства.

Число е в интервале энергий dE: dn=N(E)*f(E)dE, где N(E)- плотность состояний. f(E)- функция распределения (вероятность заполнения) Функция распределения определяется функцией Ф-Д. (1);

Вероятность что состояние с энергией Е свободно. (2)

Рассмотрим свойства функции Ф-Д. Продиф. Ее по энергии. умножим числ, и знам. на , получим

В результате имеем что ф-я четная симметричная относительно точки .

Т.е. Она будет иметь вид ∆-функции.

Очевидно, что при Е=Е_F,

При Т→0 .

при T=0К f(E)=1, при Е<E_F

f(E)=0, при Е>E_F

при Т>0К Е=E_F, f(E)=0.5

Зависимость уровня ферми от температуры.

Приближенное интегрирование и решение дает следующую зависимость.

Изобразим функцию f(E).

Е_F уменьшается с ростом температуры за счет того, что тепловое возмущение позволяет заполнять уровни выше E_F0 и требует чтобы какое то число состояний ниже E_F0 оставалось незанятым. Поскольку N(E) растет с энергией, энергия соответствующая 50% заполнению должна снижаться по мере того как увеличивается тепловое уширение переходной области.

Если E-E_F>>KT, то ф-я Ф-Д

Итак чем выше температура, тем сильнее размывается ф-я Ф-Д, однако поскольку это размывание происходит в интервале энергий КТ, что при комнатной температуре составляет ничтожно малую величину, то энергия газоносителей практически не меняется. Эл Газ в котором энергия носителе не зависит от Т называется вырожденным. Определим n(E)=N(E)*f(E)=

11. Основы зонной теории понятие об эффективной Массе.

Ур-е Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение частных производных, оно содержит в себе столько переменных, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. (10²²%10²³).

Зонная модель - наиболее простая квантово механическая схема учитывающая самые важные особенности движения электронов во многих кристаллах.

Решающее упрощение зонной теории:

1. Атомные ядра в виду их большой массы рассматриваются как неподвижные источники поля, действующего на электроны. => Потенциальная энергия межъядерного взаимодействия постоянна, а кинетическая энергия ядер принята равной 0. Это приближение часто называют адиабатическим.

2. Расположение ядер в пространстве считается строго периодическим т.е. они располагаются строго в узлах идеальной решетки данного кристалла.

3. Взаимодействие электронов с друг другом, заменяется некоторым эффективным внешним полем, т.е. система электронов взаимодействующих друг с другом по закону кулона, заменяется системой независимых электронов, каждый из этих электронов Движется в суммарном поле, которое складывается из периодического поля атомных ядер, и эффективного поля, отвечающего взаимодействию данного электрона со всеми остальными. Это так называемое одноэлектронное приближение.

4. Использование приближений позволяет найти решение уравнения Шредингера. Волновая функция электрона в одномерном кристалле м.б. представлена следующим образом:

, где --функция периодическая с периодом решетки, т.е. = ; a-период решетки, - радиус вектор, - квазиволновой вектор.

Т.о. волновая функция для электрона движущегося в периодическом поле, представляет собой модулированную плоскую волну.

, где v-скорость электрона, - постоянная Дирака.

Энергия электронов через волновое число имеет вид: .

Такая зависимость имеет место во всем интервале значений исключительно лишь в теории свободного электрона.

, m*- эффективная масса.

Введение эффективной массы, позволяет пользоваться теорией свободных электронов для описания системы, в случае действия на нее периодического плоя, независимо от того одномерная или трехмерная кристаллическая решетка.

Эффективная масса учитывает действие периодического потенциального поля решетки на электрон в зависимости от его координат и заряда, действующего на него.