Дополнительные равносильности
,
,
,
,
,
,
,
,
, (законы склеивания),
(закон поглощения).
(закон обобщенного склеивания
Определение 5.2. Функция зависит существенно от аргумента xi, если существуют такие значения a1, …, ai-1, ai+1 ,…, an переменных x1, …, xi-1, xi+1, …, xn, что
.
В этом случае переменная xi называется существенной, в противном случае называется несущественной (фиктивной) переменной.
Пример .2. Пусть булевы функции f1(x1, x2) и f2(x1, x2) заданы таблицей истинности:
.
Для этих функций переменная x1 – существенная, а переменная x2 – фиктивная.
Пример. 5.3. С помощью основных равносильностей доказать, что в булевой функции F = переменная является фиктивной.
Решение. Применяя закон поглощения и закон склеивания, получим
F =.
Так как существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует , то эта переменная является фиктивной.
Пример 5.4. С помощью таблицы истинности убедиться в справедливости законов де Моргана .
Решение. Построим таблицу истинности для и .
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Так как в таблице истинности булевым функциям и соответствуют одинаковые столбцы, то формулы и равносильны.
Пример 5.5. С помощью основных равносильностей доказать закон обобщенного склеивания .
Решение. Применяя закон склеивания (в обратном порядке, то есть ) и дистрибутивность (то есть вынесем за скобки и ), получим
.
Пример 5.6. С помощью основных равносильностей доказать, что .
Решение. Применяя основные равносильности (закон поглощения), получим
.