Биномиальные коэффициенты
Числа |
k |
n |
обладают многими |
Сn |
|
k
замечательными свойствами, из которых особенно важным является то, что они входят в качестве
коэффициентов в разложение выражения по степеням x
и y. x y 3 (x y)(x y)(x y)
xxx xxy xyx xyy yxx yxy yyx yyyx3 3x2 y 3xy2 y3
Каждое из 8 слагаемых получается при умножении 3–x переменных, выбираемых по одной из каждой скобки.
В частности есть 3 слагаемых, содержащих 1-x и 2-y, потому, что есть выбор 2 скобок из 3, т.е. С32 3
(из третьей скобки берем x). |
1 |
|
Аналогично получаются остальные коэффициенты
С30 1, С31 3, С32 3, С30 1.
Это разложение называется биномом Ньютона |
|||
коэффициенты – x y n |
n |
n |
|
|
x k yn k |
||
k |
n |
k 0 |
k |
|
|
||
Сn |
|
|
|
|
k |
|
|
- |
биномиальными коэффициентами |
||
2
Доказательство:
Запишем левую часть бинома в виде произведения n одинаковых сомножителей: x y x y x y
После раскрытия скобок (до приведения подобных членов) получаем сумму, в которой каждое слагаемое является произведением n переменных, по одной из каждого сомножителя.
Запишем каждое такое слагаемое в виде слова, в котором i- тую позицию занимает переменная, выбираемая из i-того сомножителя, (например, xxyyyx вместо x3y3). Нетрудно видеть, что в такой записи множество всех слагаемых, получаемых после раскрытия скобок, образует множество всех слов длины n в алфавите {x,y}.
В этом множестве количество слов, содержащих в точности |
|||||
k символов x, равно |
k |
, и |
k |
символов y |
3 |
|
Сn |
|
Сn k |
|
|
Таким образом, группируя в каждом слагаемом одинаковые сомножители в виде степени и приводя подобные, получаем правую часть бинома.
x y n |
n n |
|
|
xn k yk |
|
|
|
|
|
k |
|
k 0 |
|
|
С(n,0)xn С(n,1)xn 1y
С(n,2)xn 2 y2 ... С(n, n) yn
4
Свойства биномиальных коэффициентов
10
20
|
n |
|
n |
|
|
|
1 |
||
|
0 |
n |
||
|
|
|
|
|
n n
1 n 1 n
30
40
n |
|
n |
|
|
|
|
|
k |
n |
k |
|
|
n |
|
n |
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
|
|
k |
|
k 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства 1 –4 можно доказать непосредственной проверкой, используя выражение биномиальных коэффициентов через факториалы.
5
Особенно важным из них является последнее. Оно позволяет с помощью одних только операций сложения найти все числа сочетаний из n элементов, если известны числа сочетаний из (n -1) элемента.
Это лежит в основе построения таблицы
биномиальных коэффициентов, называемой
треугольником Паскаля. В треугольнике Паскаля биномиальные коэффициенты располагаются следующим образом:
6
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
первый и последний элементы всегда равны 1 Cn0 Cn1 |
1 , |
||||||||||||||||
если строка с номером n-1 заполнена, то легко заполняется строка с номером n:
каждый из остальных получается сложением двух расположенных над ним элементов предыдущей строки.7
Каждая (n+1) строка этого треугольника состоит из |
|
|||||||||||||||||||||
биномиальных коэффициентов, получающихся при |
|
|||||||||||||||||||||
раскрытии скобок в выражении |
|
x y |
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
n |
|
|
|
8 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
4 |
6 |
4 |
|
1 |
1 |
5 |
10 |
|
10 |
5 |
1 |
Так как Cn0 Cn1 |
1 , на внешних сторонах треугольника |
|||||
Паскаля всегда стоят единицы. |
|
|
||||
Симметрия относительно вертикальной оси следует из |
||||||
тождества |
n |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n |
k |
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула Паскаля - |
|
|
|
k |
|
|
|
9 |
|
k |
|
|
k 1 |
|
|||
Некоторые свойства биномиальных коэффициентов легко выводятся из бинома Ньютона.
50
60
n n 2nk
k 0
n |
n |
|
k |
0 |
|
|
|
1 |
|
k 0 |
k |
|
|
|
Это получается из формулы бинома, если положить x=y=1
Это получается при x= -1 y=1
10
Задача. Найти разложение. (a+b)6, используя треугольник Паскаля.
Решение.
Задача. Написать разложение бинома (x–2y)5.
Решение.
Задача. Найти наибольший член разложения
бинома |
1 |
3 100 |
|
11
12
