Лекции_2 / Матрицы бинарных отношений
.docxМатрицы бинарных отношений
Рассмотрим два конечных множества A ={a1,a2,…,am} и B={b1,b2,…,bn} и бинарное отношение . Определим матрицу размера m×n бинарного отношения Р по следующему правилу:
Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.
Любая матрица, состоящая из 0 и 1, является матрицей некоторого бинарного отношения.
ПРИМЕР 1. Матрица бинарного отношения , A={1,2,3}, заданного
на рисунке имеет вид
Основные свойства матриц бинарных отношений:
-
Если то и , где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=0+1=1+0=1, а умножение – обычным способом.
Итак,
-
Матрица получается перемножением соответствующих элементов из и : .
-
Если , то , где умножение матриц производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов – по определённым в свойстве 1 правилам.
-
Матрица обратного отношения Р-1 равна транспонированной матрице отношения Р: .
-
Если , то .
-
Матрица тождественного отношения idA единична:
ПРИМЕР 2. Пусть - матрицы отношений P и Q. Тогда
ПРИМЕР 3. Если , то
Рассмотрим свойства отношений на языке матриц.
Пусть Р – бинарное отношение на множестве . Отношение Р:
-
рефлексивно, если на главной диагонали матрицы отношения расположены только единицы;
-
симметрично, если матрица симметрична относительно главной диагонали;
-
антисимметрично, если в матрице все элементы вне главной диагонали являются нулевыми;
-
транзитивно, если выполнено соотношение .
ПРИМЕР 4. Проверим, какими свойствами обладает отношение , А={1,2,3}, изображённое на рисунке.
Составим матрицу отношения Р:
Так как в матрице на главной диагонали имеются нулевые элементы, отношение Р не рефлексивно.
Несимметричность матрицы означает, что отношение Р не симметрично.
Для проверки антисимметричности вычислим матрицу .
Поскольку в полученной матрице все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, отношение Р антисимметрично.
Так как (проверьте!), то , то есть Р является транзитивным отношением.