3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения.

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (AB) выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «особые» отношения, которых нет у других пар.

В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении SK можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение

«… Слушает …»,

возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным) отношением  между множествами A и B называется произвольное подмножество AB, т.е.

a  b  (a,b) , где AB.

В частности, если A=B (то есть A²), то говорят, что  есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения .

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: , , , ,  и т.д.

Определение 3.2. Областью определения бинарного отношения  называется множество D_=a   b, что ab (левая часть). Областью значений бинарного отношения  называется множество R_=b   a, что ab (правая часть).

Пример .. Пусть даны два множества A=1; 3; 5; 7 и B=2; 4; 6.

Отношение зададим следующим образом =(x; y)AB  x+y=9.

Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде =(3; 6), (5; 4), (7;2). В данном примере D_=3; 5; 7 и R_= B=2; 4; 6.

=(x; y)AB  x<y, =(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6).



Пример .. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество =(x; y)  x и y – действительные числа и x равно y. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D_= R_.



Пример .. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда =(x; y)AB  y – цена x – отношение множеств A и B.

Способы задания отношений:

1. с помощью подходящего предиката;

2. множеством упорядоченных пар;

3. в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и  – бинарное отношение между ними.

Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости.

Для каждой упорядоченной пары отношения  рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.

4. в виде матрицы: пусть A=a₁, a₂, …, a_n и B=b₁, b₂, …, b_m,  – отношение на AB.

Матричным представлением  называется матрица M=m_ij размера nm, определенная соотношениями

Пример .. Пусть даны два множества A=1; 3; 5; 7и B=2; 4; 6. Отношение задано предикатом =(x; y)  x+y=9. Задать данное отношение другими способами.

Решение. 1) =(3; 6), (5; 4), (7; 2) - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

3) в матричном представлении это отношение имеет вид

. 

Пример: =(x; y)AB  x<y,

1. =(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6).

Пример: =(x; y)AА  x делитель y, A={1,2,3,4,5,6}

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n-арное) отношение  – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)

A₁…A_n=(a₁, …, a_n) a₁A₁ … a_nA_n

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества кортежей отношения .

Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или  (греческую).

Далее – только бинарные отношения.

Определение 3.4. Пусть AB есть отношение на AB. Тогда отношение ^-1 называется обратным отношением к данному отношению  на AB, которое определяется следующим образом:

^-1=(b, a)  (a, b).

Определение 3.5.

Пусть  AB есть отношение на AB, а

 BC – отношение на BC. Композицией отношений  и  называется отношение  AC,которое определяется следующим образом:

=◦= (a, c)  b  B, что (a, b) и (b, c).

Пример .. Пусть ,иC=, , , . И пусть отношение  на AB и отношение  на BC заданы в виде:

=(1, x), (1, y), (3, x);

=(x, ), (x, ), (y, ), (y, ).

Найти ^-1 и ◦, ◦.

Решение.

1) По определению ^-1=(x, 1), (y, 1), (x, 3);

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

◦=(1, ), (1, ), (1, ), (1, ), (3, ), (3, ),

поскольку из (1, x) и (x, ) следует (1, )◦;

из (1, x) и (x, ) следует (1, )◦;

из (1, y) и (y, ) следует (1, )◦;

…

из (3, x) и (x, ) следует (3, )◦.

3) ◦=.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов.

Пусть (a; b)  (◦)^-1  (b; a)  ◦   c такое, что (b; c)   и (c; a)     c такое, что (c; b)  ^-1 и (a; c)  ^-1  (a; b)   ^-1◦ ^-1. Свойство 3 доказать самостоятельно.