Выполнение вычислений с векторами
x1 |
|
y1 |
|
x1 |
+ y1 |
x2 |
|
y2 |
|
x2 |
+ y2 |
x3 |
+ |
y3 |
= |
x3 + y3 |
|
… |
… |
|
… |
||
… |
… |
|
… |
||
x1 |
|
x1 |
x2 |
|
x2 |
• x3 |
= |
x3 |
… |
… |
|
… |
… |
|
x1 |
y1 |
|
x1 + y1 + … |
x2 |
y2 |
|
x2 + y2 + … |
• x3 |
+ • y3 |
+ • • • = |
x3 + y3 + … |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
|
Домашнее задание
Задача 2.1. Даны три вектора:
R1 |
= ( 5 , –3 , |
3 , –5 , |
0 |
) |
||
R2 |
= |
( 3 , 2 , |
0 , |
–4 , –1 ) |
||
R3 |
= |
( –1 , 2 , |
3 , |
4 , |
–5 |
) |
Вычислить координаты вектора S, являющегося линейной комбинацией заданных векторов:
S = R1 + R2 + R3
Скалярное умножение векторов
вектор-строка
= (x, y) = x y = x | y
Скалярное
произведение вектор-столбец
(число)
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
y2 |
|
= x |
|
= (x1, x2, x3, …) • |
y3 |
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + … = (xi yi) |
y |
||||
|
|
|
… |
|
…
«свертка»
Скалярный |
Х |
Х = (xi xi) = (xi)2 = | X |2 |
квадрат |
| X | |
— модуль или норма вектора Х |
|
Нормировка векторов
X = ( x1, x2, … , xn ) |
| X | ≠ 1 |
Обычный (ненормированный) вектор |
|
~ |
= |
x1 |
x2 |
• • • |
xn |
|
~ |
X |
| X | |
| X | |
| X |
| |
| X | = 1 |
||
|
|
|
|
Нормированный вектор
Луч — совокупность векторов,различающихся только длиной (модулем, нормой).
{ k X }
где k — любое число, а X — нормированный вектор
Домашнее задание
Задача 2.2. Нормировать вектор S, полученный при решении задачи 2.1.
1) вычислить модуль вектора S,
~
2) вычислить координаты нормированного вектора S.
Взаимная
ориентация
векторов
(X Y) cos = ————–
| X | | Y |
— «угол» между векторами X и Y
X |
Y |
X |
X |
|
|
Y |
|
|
|
|
Y |
= 0 |
= 90o |
= 180o |
|
X Y = 1 |
X Y = 0 |
X Y = –1 |
X
Y
= (0 – 90 )
X Y = (1 – 0)
X
X•Y 
Y
X•Y
X
Y
= (90 – 180 )
X Y = (0 – -1)
Скалярное произведение — величина проекции одного из двух нормированных векторов на другой
Домашнее задание
Задача 2.3. Вычислить (в градусах) величины углов между вектором S (см. задачу 2.2.) и исходными векторами (см. задачу 2.1.):
(S, R1) = ?
(S, R2) = ?(S, R3) = ?
Дополнение 1. Комплексные векторы
Z = ( z1, z2, … , zn )
Комплексные числа
|
|
|
(z1)* |
|
|
Z | = ( z1, z2, … , zn ) |
Z |
(z2)* |
= | Z |
||
… |
|||||
|
|
|
|
||
бра-вектор |
|
|
(zn)* кет-вектор |
||
Z | = |
| Z + |
| Z |
= Z |+ |
||
Эрмитово-сопряженные векторы
Дополнение 2. Функциональные представления векторов
X = ( x1, x2, … , xn ), где n = 1 000 000 000
xi |
X = sin(k i ) |
= sin( ) |
Волновые |
|
|
|
функции |
i
Скалярное
умножение
ψ | φ = ψ( ) φ*( ) d