Операции отражения |
|
|||||
|
σXY |
|
x |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
–z |
1 |
0 |
0 |
|
x |
|
x |
0 |
1 |
0 |
• |
y |
= |
y |
0 |
0 |
–1 |
z |
|
–z |
|
|
σXZ |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
x |
|
x |
0 |
–1 |
0 |
• |
y |
= |
–y |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
+Z
X (Y)
X (Y)
–Z
|
σYZ |
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
0 |
|
x |
|
–x |
0 |
1 |
0 |
• |
y |
= |
y |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
Операции отражения
σX+Y, Z |
x |
y |
y |
x |
|
|
z |
z |
0 |
1 |
0 |
|
x |
|
y |
1 |
0 |
0 |
• |
y |
= |
x |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
σX–Y, Z |
|
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
0 |
|
x |
|
–y |
–1 |
0 |
0 |
• |
y |
= |
–x |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
Y
Y'
Y
X' X X
Y
Y X'
X X
Y'
Повороты
|
С Z |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
0 |
|
x |
|
–y |
0 |
–1 |
0 |
• |
y |
= |
–x |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
С Z |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
0 |
|
x |
|
–y |
1 |
0 |
0 |
• |
y |
= |
x |
0 |
0 |
1 |
|
z |
|
z |
cos φ – sin φ |
0 |
|
СφZ = sin φ |
cos φ |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y
|
Y |
X' |
X |
|
|
|
X |
|
Y' |
Y
Y'
Y
X
X' X
Поворот на произвольный угол φ
Группа С2v
E |
C2Z |
σXZ |
σYZ |
1 |
0 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
–1 |
0 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 0Матричное1 представление группы С2v
|
|
σXZ • σYZ |
= |
C2Z |
|
|
||
1 |
0 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
–1 |
0 |
0 |
0 –1 0 |
• 0 |
1 |
0 |
= 0 –1 0 |
||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Домашнее задание
Задача 3.1. Установить, коммутируют ли между собой заданные операции симметрии, найти коммутатор.
1) |
найти матричные представления операций F1 и F2; |
|
2) |
найти произведения: F1 • F2 и |
F2 • F1; |
3) |
найти коммутатор: С = F1 • F2 |
– F2 • F1 |
Инвариантные подпространства
Векторы инвариантных подпространств преобразуются оператором только друг в друга, оставаясь внутри подпространства.
Z
C2Z
Х Y
1-мерное инвариантное подпространство
(любой вектор, лежащий на оси Z, при действии оператора останется лежащим на этой оси)
XY Z
Трехмерное пространство XYZ — прямая сумма двумерного подпространства XY и одномерного подпространства Z
2-мерное инвариантное подпространство
(любой вектор, лежащий в плоскости XY, при действии оператора останется лежащим в этой плоскости)
σXZ |
σYZ |
Z |
|
Z |
|
Z
X
Y
Y
X YZ
X
XZ Y |
X YZ |
Спектральные свойства операторов
F ( X ) = Y
Y
X
Уравнение на собственные значения
Собственное
значение
F ( А ) = А
Собственный
вектор
(инвариантное
подпространство)
Спектр |
1 |
2 |
3 |
… n |
оператора |
A1 |
A2 |
A3 |
… An |
|
n — размерность пространства
|
|
F ( А ) |
= А |
|||
F11 |
F12 |
. . . F1n |
a1 |
|
|
|
F21 |
F22 |
. . . |
F2n |
• a2 |
. |
= |
. . . . . . |
|
|
||||
Fn1 |
Fn2 |
. . . |
Fnn |
an |
|
|
a1a2
. .
an
F11 а1 + F12 а2 + . . . + F1n аn = a1 F21 а1 + F22 а2 + . . . + F2n аn = a2
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 а1 + Fn2 а2 + . . . + Fnn аn = an
(F11 – ) а1 + F12 а2 + . . . + F1n аn = 0 F21 а1 + (F22 – ) а2 + . . . + F2n аn = 0
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 а1 + Fn2 а2 + . . . + (Fnn – ) аn = 0
Однородная система линейных уравнений Условие разрешимости: Det = 0
(F11 – ) |
F12 |
. . . F1n |
|
|
F21 |
(F22 – ) . . . F2n |
= 0 |
||
. . . . . . . . . . |
||||
|
||||
Fn1 |
Fn2 |
. . . (Fnn – ) |
|
|
Сn n + Сn–1 n–1 + Сn–2 n–2 + . . . + С1 + Co = 0
Характеристическое уравнение
Основная теорема алгебры:
всякое уравнение степени n имеет n корней
Корни: { 1 |
2 |
… n } — собственные значения |
|
|
оператора F |
(F11 – ) а1 + F12 а2 + . . . + F1n аn = 0 |
||
F21 а1 + (F22 – ) а2 + . . . + F2n аn = 0
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 а1 + Fn2 а2 + . . . + (Fnn – ) аn = 0
|
|
1 |
|
|
2 |
… |
|
|
n |
|
|
|
a1 |
|
|
a1 |
|
|
|
a1 |
|
a1 |
= |
a2 |
a2 |
= |
a2 |
• • • |
an |
= |
a2 |
|
… |
… |
… |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
an 1 |
|
|
an 2 |
|
|
|
an n |
Пример: |
|
|
3 – |
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
0 – |
2 |
= 0 |
3 |
2 |
4 |
4 |
2 |
3 – |
|
A = 2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
4 2 3
Det = (3 – ) (0 – ) (3 – ) + 2 2 4 + 4 2 2 –
–4 (0 – ) 4 – 2 2 (3 – ) – (3 – ) 2 2 =
=– 9 + 6 2 – 3 + 16 + 16 +16 – 12 + 4 – 12 + 4 =
=– 3 + 6 2 + 15 + 8 = 0
Корни: { 1 = 8 |
2 = –1 |
3 = –1 } |
(3 – ) х + |
2 y |
+ |
4 z = 0 |
||
2 x |
+ (0 – ) y |
+ |
2 z |
= 0 |
|
4 x |
+ |
2 y + (3 – ) z |
= 0 |
||
|
– 5 х |
+ 2 y + 4 z = 0 |
||
1 = 8 |
2 x |
– 8 y |
+ 2 z |
= 0 |
|
4 x |
+ 2 y |
– 5 z |
= 0 |
Вычитая третье уравнение из первого, получим:
–9x + 9z = 0 или x = z
Подставим этот результат во второе уравнение и получим:
4х – 8у = 0 или у = х/2
Теперь мы можем выразить все три координаты вектора через одну, например, через х:
х = х у = х/2 |
z = x |
|
|
|
x |
x |
2 |
Решение: |
а1 = y |
= x/2 |
= (х/2) 1 |
z |
x |
2 |
|
4 х |
+ |
2 y + |
4 z |
= 0 |
= –1 |
2 x + 1 y + 2 z = 0 |
||||
|
4 x |
+ |
2 y + |
4 z |
= 0 |
Видно, что все три уравнения одинаковы и задают только одно соотношение между тремя неизвестными. Поэтому мы можем произвольно выбрать значения двух неизвестных, а третье уже выразить через эти два.
Уравнение 2x + 1y + 2z = 0 определяет некоторую плоскость (двумерное инвариантное подпространство) в трехмерном пространстве. Любой вектор, лежащий на этой плоскости является решением нашей системы и, следовательно, будет собственным для нашего оператора.
Экономный способ задать все эти векторы заключается в выборе базиса — двух ортогональных векторов на плоскости.
Первый базисный вектор можно выбрать произвольно. Положим, например, х = 0 и у = 1. Тогда из уравнения плоскости
2x + 1y + 2z = 0
следует, что z = –1/2.
Второй базисный вектор должен удовлетворять как уравнению плоскости (2x + 1y + 2z = 0), так и условию ортогональности:
x
(0, 1, –1/2) y = y – 1/2 z = 0 z
Решая совместно эти два уравнения, получим: у = –2/5 х и z = –4/5 х.
|
0 |
1 |
|
0 |
5 |
а2 = |
1 |
a3 = –2/5 |
а2 = |
2 |
a3 = –2 |
|
–1/2 |
–4/5 |
|
–1 |
–4 |
1 = 8 |
2 |
= 2 = – |
|
2 |
0 |
1 |
5 |
a1 = 1 |
a2 = 2 |
|
a3 = –2 |
2 |
–1 |
|
–4 |
Проверка |
|
|
|
|
||
3 |
2 |
4 |
2 |
|
16 |
2 |
2 |
0 |
2 |
1 |
= |
8 |
= (+8) 1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
|
16 |
2 |
А (а1) = 1 а1