11. Идеальная и ньютоновская жидкости

Задача 4.11.1.Подставить тензор напряжений для ньютоновской жидкости

в уравнение импульсов. Получить уравнения Навье-Стокса для в проекциях для декартовой системы координат для: 1) сжимаемой жидкости с переменной вязкостью, 2) сжимаемой жидкости с постоянной вязкостью, 3) несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью.

Задача 4.11.2.Стационарное одномерное течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в круглой трубе описывается уравнением

.

Обозначить радиус трубы . Получить профиль скорости, расходчерез поперечное сечение, среднюю скорость, где– площадь поперечного сечения трубы, и выражение.

Задача 4.11.3.Получить профиль скорости в случае стационарного плоского течения несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью между двумя бесконечными параллельными пластинами.

Задача 4.11.4.Найти критическую и максимальную скорость при адиабатическом движении воздуха ().

Задача 4.11.5.Получить формулу Торричелли

Рис. 4.4.3

для скорости вытекания несжимаемой жидкости из сосуда.

Задача 4.11.6.Получить уравнение адиабаты для совершенного газа

или,

где , используя термическое уравнение состояния (уравнение Клапейрона-Менделеева)

и выражение для внутренней энергии

,,.

Задача 4.11.7. Показать, что в начальной точкекасательные к адиабатам Пуассона и Гюгонио совпадают, непосредственно продифференцировав уравнения этих адиабат:

.

12. Упругое тело

Задача 4.12.1.Используя обобщенный закон Гука, доказать теорему о том, что для тела Гука главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Задача 4.12.1.Получить уравнение импульсов для тела Гука – уравнение Ляме.

Задача 4.12.3.Получить из закона Гука выражение для упругих деформаций через напряжения

.

13. Ответы и решения

4.1.1.Прямой подстановкой найдем. Пользуясь векторной формулой, получим поле ускорений. Таким образом,.4.1.2.Из второго и третьего уравнений получими. Разрешая их, находим обращенные уравнения,,. Тогда компоненты перемещения,,, либо в эйлеровой форме:,,., и компоненты скорости в лагранжевом представлении будут равны,,. С учетом соотношенийи, эти выражения для компонент сводятся к,,. С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то из формулынаходим,. Разрешая эти уравнения относительнои, получаем, как и прежде,,.4.1.3.6) Компоненты скорости в эйлеровых переменных,,.4.1.4.2) Компоненты скорости в эйлеровых переменных,,.4.1.5.2) Компоненты скорости в эйлеровых переменных,,.4.1.6.Введем в пространстве декартову систему координат. В качестве лагранжевых координат частицывозьмем координатыточки пространства, в которой частица находилась в момент. а) Пусть осьнаправлена по (имеющему постоянное направление) вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в направлении осина расстояние. Поэтому закон движения имеет вид,,. б) Пусть осьнаправлена по оси вращения, неподвижной в пространстве. Движение состоит в повороте вокруг нее на угол. Преобразование вектора начального положения частицы в вектор ее положения в моментосуществляется при таком повороте ортогональной матрицей. Поэтому закон движения имеет вид,,.Другое решение. Соответствиевекторов евклидова пространства и троек чисел не обязательно устанавливать в виде,,, где– компонентыв декартовой системе координат. Например, можно использоватьцилиндрические координаты,,, где– расстояние от конца векторадо оси,– угол между плоскостью, проходящей черези ось, и плоскостью,. При вращении вокруг осицилиндрические координатыичастицы очевидно не меняются, а координатаизменяется за времяна величину, если угловая скорость постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических координатах имеет вид,,, здесь– лагранжевы координаты частицы. Таким образом, декартова система координат не всегда самая удобная.4.1.7.При поступательном движении твердого тела скорости всех частиц одинаковы,,,. Из определения скорости,находится закон движения,,.4.1.8.Поле скорости:,,; поле ускорения:. В точкев моментнаходится материальная точка, имеющая лагранжевы координаты,,.4.1.9.а) Поле скорости:,,; поле ускорения:,,. б) Частица находится в точке.4.1.10.Значения функций, где, указывают, какая частица находится в моментв точке пространства;,.4.1.11.В эйлеровом описании поля скоростии ускоренияимеют следующий вид (точка означает производную по времени): а),,. б),,,. в),, где,.4.1.12.Закон движения имеет вид,,, где в качестве лагранжевых координат введены координаты положения индивидуальной точки (частицы) в данный момент.4.1.13.Если в качестве лагранжевых координат ввести координаты частицы в момент, то закон движения примет вид: а),,, где,; б),, где,; в),,.4.1.14.Перепишем закон движения в виде,. Возведя эти равенства в квадрат и сложив результаты, исключими получим траектории – окружности. По формуленайдем скорости,,, следовательно,. Наконец,при, откуда,.4.1.15.Пользуясь формулой, находим,,.4.1.17.Так как, формула материальной производной дает. Таким образом, в точкев момент.4.1.18.Ответ:.

4.2.1.Касательная к линии тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого векторакасательной к линии тока можно написатьи получить таким образом дифференциальные уравнения линий тока. Для указанного течения эти уравнения имеют вид. Интегрируя их с учетом начальных условийпри, находим уравнения линий тока:,,. Интегрирование выражений для скоростидает закон движения,,. Исключая из этих уравнений время, получаем траектории, которые в точности совпадают с найденными выше линиями тока.4.2.5.Лини тока в случаях а), б) и в) совпадают с траекториями, хотя в случаях а) и б) движения не являются установившимися. В случаях а) и в) лини тока лежат в плоскости, картины линий тока одинаковы во всех таких плоскостях и описываются соответственно уравнениями а), в). В случае б) линии тока – всевозможные прямые, проходящие через начало координат.

4.3.1. 2); 3).4.3.2.а) 3; б) 3; в) 3; г); д).4.3.3. ,,,.4.3.4. .4.3.5. .4.3.6. .4.3.7.а) Указание: наборыидля ортонормированных базисовисвязаны тензорным законом преобразования. б) Ответ:; сверткии, вообще говоря, не равны.4.3.9.Свертка не зависит от того, какими буквами обозначаются индексы, по которым проводится суммирование. Поэтому. Остается заметить, чтои, и, таким образом,.4.3.11.Проверяется непосредственно при каждом.4.3.12.Проверяется непосредственно.4.3.13.По результатам предыдущей задачи смешанное произведение можно представить так:

.

Если теперь положить ,и, то будем иметь

.

Этот же результат можно получить и непосредственным разложением определителя по строке. Определитель можно также записать в виде ; очевидно, эти два выражения эквивалентны.4.3.14.Рассмотрим определитель

.

Перестановка строк или столбцов ведет к изменению знака определителя, например,

.

Если строки менять местами произвольное число раз, то

,

а если менять столбцы, то

.

Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим

.

Если положить , то; тождество доказано.4.3.15.В тождестве, доказанном в задаче 4.3.14, разложим определитель по первой строке:

.

Положив , получим

.4.3.16.Выразитечерез его компоненты в другом ортогональном базисеи используйте формулу, верную для матрицы ортогонального преобразования.

4.4.1.Главные значения равны,,; соответствующие главные оси:,,.4.4.2.,,.4.4.3.а).,,;,,. б) ,,;,,. в),,;,,.4.4.4.а) Главные значения,,; соответствующие главные оси,,,. б) Главные значения,; соответствующие главные оси направлены вдоль вектораи вдоль произвольной пары ортогональных векторов, лежащих в плоскости векторови.

4.5.2.Рассмотрим. Так как, то. Дифференцируя второй раз, получаем. Если, тои..4.5.3.а)записывается в виде, тогдаимеет компоненты, но тензорантисимметричен по индексами, тогда каксимметричен по этим индексам, следовательно, произведениеобращается в нуль. К тому же результату можно придти, вычисляя отдельно компоненту; например,. б), так каки.4.5.4.Искомая производная вычисляется по формуле. Таким образом,.4.5.5.Еслии– декартовы системы координат, тои. Тогда будем иметь, а это и есть правило преобразования декартова тензора третьего ранга.4.5.6.а) Векторимеет компоненты, причем, а так как, то. Следовательно,. б).

4.6.1.Эти материальные элементы переместились параллельно самим себе. Относительное удлинение элемента, направленного вдоль оси, равно; элементов, перпендикулярных оси, равно. Припроисходит растяжение, при– сжатие материальных элементов.4.6.2.Компоненты тензоров деформаций можно вычислить по формулам, связывающим их с компонентами поля перемещения. Ответ:(в лагранжевом описании),(в эйлеровом описании). Отличны от нуля только компонентыитензоров Грина и Альманси, они равны соответственно,;,.4.6.3.а) Использовать формулу, гдеи– длина материального элемента до и после деформации. Относительное удлинение равно, где– компоненты единичного вектора, имеющего то же направление, что и. б) Относительное удлинение каждого из элементов равно.4.6.4.а) Угол между материальными элементами можно найти, вычислив скалярное произведение векторов, которым соответствует их положение после деформации,. При этом следует учесть, чтои воспользоваться ответом задачи 4.6.3 а), чтобы найти величиныи. Уголмежду элементами определяется по формуле, гдеи– компоненты единичных векторов, имеющих то же направление, чтоисоответственно. б) Угол между элементами равен.4.6.5.Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из формулы:,,. Разрешая относительно, получаем,,, а пространственные компоненты векторабудут равны,,. Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в материальной частице, представленная уравнениями,, займет после деформации положение,. А материальная линия,станет после деформации,. (Истолковать механический смысл этих результатов).4.6.6.а) Замена координат,переводит круг в область, ограниченную эллипсом. Приуравнение эллипса; в главных осях(образующих углыс,) оно принимает вид. На Рис. 4.4.5 показано геометрическое место смещенных точек.

Рис. 4.4.4

Рис. 4.4.5

б) Из задачи 4.4.6 перемещения ребер кубика находятся без труда. На ребре ,компоненты перемещения. На ребре,мы имеем,, и частицы перемещаются в направлениипропорционально их расстоянию от начала координат. Для ребра,,,. Начальное и смещенное положения куба показаны на Рис. 4.4.5.4.6.7.Имеем, причемв матричной форме определяется по формуле., так что. Таким образом,.4.6.8.Воспользовавшись тензором, определенным в задаче 4.6.7, по формуленайдем квадрат длины диагонали в матричной форме:. Подобным же образом дляимееми для.4.6.9.Непосредственно по результатам задачи 4.6.8 найдем изменения а) для:;

б) для :;

в) для :. Из уравнениядляимеем

. Измененияиможно установить тем же путем.4.6.10.Из формулы. Путем обращения получим формулы для перемещений,,, откуда по формуленайдем. Если константаочень мала, то членами си более высокими степенямиможно пренебречь. В результатесводится к.4.6.11.В данном случае градиент перемещения имеет матричную формуи в точкепринимает вид. Разложим эту матрицу на симметричную и антисимметричную составляющие:. Тогда, как показывает формула, векторимеет компоненты,.4.6.12.Пользуясь формулойи тензором деформаций в точке, вычисленным в задаче 4.6.11, получаем относительное удлинение в точкев направлениикак произведение матриц.

4.7.2. Для несжимаемой жидкости. В нашем случае; следовательно,и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости удовлетворяется.4.7.3. В этом случаеи, проинтегрировав уравнение, получим, где– постоянная интегрирования. Так какпри, это равенство принимает вид. Далее, интегрируя уравнения(суммирование поне проводится), находим, откуда.4.7.4.,.

4.8.1.Требуется показать, что. В силу формулы,, а в силу того, что, получаем.4.8.2.Имеем. Умножение лучше всего выполнять в матричной форме:. Таким образом,.4.8.3.а). б), в) Так как, тои.4.8.4.Для данных тензора напряжений и вектора нормали величинадолжна быть равна нулю. Запишем это в матричной форме:, откудаРешая эти уравнения, получим. Итак, решение дается тензором.4.8.5.Так как– тензор нулевого порядка, в любой системе осей координат (со штрихами или без штрихов) он записывается одинаково:, но, согласно закону преобразования компонент вектора,, и поэтому, где в последнем члене использованы новые индексы суммирования. Таким образом,, а поскольку направления осей без штрихов произвольны,.4.8.6.Уравнение поверхности напряжений в символической записи таково:. Используя матричную форму, получаем следующие результаты. а). Отсюда видно, что поверхность напряжений для всестороннего равномерного растяжения является сферой. б). Поверхность напряжений для одноосного растяжения представляет собой две плоскости, перпендикулярные линии действия напряжения. в). Поверхность напряжений для простого сдвига есть гиперболический цилиндр с образующей, параллельной оси. г). Для плоского напряженного состояния поверхность напряжения представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси нулевого напряжения, и направляющей в виде кривой второго порядка.4.8.7.Уравнение поверхности напряжений имеет вид. Это эллипсоид.

4.9.2.Указание: прибавить к недивергентной форме записи уравнение неразрывности, умноженное на.4.9.3.Указание. Воспользовавшись результатами задачи 4.3.12 и 4.3.15, доказать, что, где,– компонента вектора. Воспользоваться.4.9.4.,,.4.9.5.,,.

4.10.2.Указание. Задача описывается уравнением. Проинтегрировать уравнение с учетом граничных условий. Граничное условие на правой границе получить из(выражение слева – входящий в область тепловой поток по закону Фурье, слева – по закону Ньютона-Рихмана). Проверка теплового баланса состоит в том, что поток, входящий в область через левую границу, сложенный с суммарной генерацией тепла в области, равен потоку, выходящему через правую границу:.4.10.3.Указание. Ввести безразмерные переменные:,. В переменныхизаданное уравнение теплопроводности и граничные условия перепишутся в виде:;при,при. Решение задачи имеет вид:. Осталось проверить выполнение теплового баланса:, где,. Уравнение теплового баланса следует также переписать в безразмерной форме и использовать решение задачи.

4.11.2. Умножить уравнение на. Проинтегрировать при граничном условии(одну из констант интегрирования следует положить равной нулю, чтобы функцияне была бесконечно большой в окрестности нуля).,,,.4.11.3., где– половина расстояния между пластинами,– ось, параллельная пластинам,– перпендикулярная пластинам,– компонента вектора скорости, параллельная оси.