4. Главные значения и главные оси симметричного тензора второго ранга. Приведение симметричного тензора второго ранга к главным осям

Задача 4.4.1.Найти главные оси и главные значения тензора второго ранга

.

Задача 4.4.2.Представить тензор в виде суммы симметричного и анти симметричного тензоров. Найти главные оси симметричной части тензора

.

Задача 4.4.3.Определить главные значения и главные оси тензора, имеющего следующую матрицу компонент:

а) ,; б); в).

Задача 4.4.4.Найти главные значения и главные оси тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе следующую матрицу компонент:

а) ; б).

Перейти в базис, в котором заданный тензор имеет диагональный вид.

5. Применение оператора Гамильтона к скалярным, векторным и тензорным величинам

Задача 4.5.1.Показать, что– вектор.

Задача 4.5.2.Для функции, где– постоянные, показать, чтои. Упростить эти производные в случае. Вычислить.

Задача 4.5.3.Пользуясь индексными обозначениями, доказать векторные тождества: а), б).

Задача 4.5.4.Найти производную функциипо направлению, заданному единичным вектором. (Использовать формулу для производной).

Задача 4.5.5.Пусть– декартов тензор второго ранга. Показать, что его производная по, т.е.является декартовым тензором третьего ранга.

Задача 4.5.6.Пустьи– произвольная функция. Показать, что: а)и б), где штрихом обозначено дифференцирование по.

6. Вектор перемещения материальной частицы. Лагранжев тензор деформаций (Грина). Эйлеров тензор деформаций (Альманси). Выражение через перемещения

Задача 4.6.1.В результате перемещения частицысреды оказались в точках с координатами

,

относительно пространственной декартовой системы координат . Такая деформация называется однородным одноосным растяжением в направлении оси.

Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно и перпендикулярно координатной оси , прии при?

Задача 4.6.2.Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти поле перемещения в лагранжевом и эйлеровом описании и вычислить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси.

Задача 4.6.3.а) Материальный элемент с началом в частицесоответствует вектору. Зная компонентытензора деформаций Грина в этой частице, найти относительное удлинение материального элемента в результате деформации.

б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти относительные удлинения материальных элементов, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси и при этом составляли углыс осью.

Задача 4.6.4.а) Два материальных элемента с началом в частицесоответствуют векторами. Зная компонентытензора деформаций Грина в этой частице, найти, какой угол образуют материальные элементы после деформации.

б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.6.1, найти, какой угол образуют после деформации материальные элементы, которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси и при этом составляли углыс осью.

Задача 4.6.5.Относительно совмещенных материальных осейи пространственных осейзадано поле перемещений сплошной среды,,, где– константа. Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых координатах).

Задача 4.6.6.Для поля перемещений задачи 4.6.5 определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли: а) круг с границейв плоскости; б) бесконечно малый куб, ребра которого лежат на осях координат и имеют длину. Нарисовать смещенное положение конфигурации для «а» и «б», если.

Задача 4.6.7.Некоторый объем сплошной среды испытывает деформацию,,, где– константа. Вычислить тензори использовать его для определения лагранжева тензора конечных деформаций.

Задача 4.6.8.В случае поля перемещений задачи 4.6.7 вычислить

Рис. 4.4.1

квадрат длины сторонии диагоналималого прямоугольника, изображенного на рисунке, после деформации.

Задача 4.6.9.Вычислить изменение квадрата длины линейного элемента задачи 4.6.8 и сверить результат с полученным по формуле, воспользовавшись тензором деформаций, найденным в задаче 4.6.7.

Задача 4.6.10.Дано поле перемещений,,, где– константа. Вычислить лагранжев тензор линейной деформациии эйлеров тензор линейной деформации. Сравнитьив случае, когда константаочень мала.

Задача 4.6.11.Для поля перемещенийпри ограничениях, принятых в теории малых деформаций (), определить тензор линейной деформации, тензор линейного поворота и вектор поворота в точке.

Задача 4.6.12.Для поля перемещений задачи 4.6.11 найти изменение длины, приходящееся на единицу начальной длины (относительное удлинение), в направлениив точке.