7. Уравнение неразрывности

Задача 4.7.1.Из интегрального уравнения

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью, получить дифференциальное уравнение неразрывности, рассуждая так же, как в случае материального объема.

Задача 4.7.2.Показать, что поле скоростей, гдеи– произвольная константа, удовлетворяет уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.

Задача 4.7.3.Для поля скоростейпоказать, что.

Задача 4.7.4.Записать уравнение неразрывности в эйлеровых переменных в прямоугольной декартовой системе координат, если:, а поле скоростей имеет вид:

Выразить через,.

8. Вектор напряжений. Тензор напряжений

Задача 4.8.1. Векторы напряженийидействуют в точкена площадках с нормалямии. Показать, что

.

Задача 4.8.2. Задан тензор напряжений в точке:

.

Определить вектор напряжения в точке на площадке с единичным вектором нормали.

Задача 4.8.3. Для вектора напряжений задачи 4.8.2 определить:

а) компоненту, перпендикулярную площадке;

б) модуль ;

в) угол между и.

Задача 4.8.4. Напряженное состояние в некоторой точке задано тензором напряжений

,

где ,,– константы, а– некоторое значение напряжения. Определить константы,, итак, чтобы вектор напряжения на октаэдрической площадке с единичной нормалью

был равен нулю (октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями напряжений).

Задача 4.8.5.Показать, что закон преобразования тензора напряжений можно получить, воспользовавшись выражением для величины нормального напряжения на произвольной площадке, имеющей единичный вектор нормали .

Задача 4.8.6.Найти поверхности напряжений Коши в точке для следующих состояний напряжения:

а) всестороннее равномерное растяжение (сжатие):

,;

б) одноосное растяжение (сжатие):

,;

в) простой сдвиг

,;

г) плоское напряженное состояние:

,,.

Задача 4.8.7.Показать, что для напряженного состояния, заданного тензором с матрицейповерхность напряжений Коши будет эллипсоидом, если,иимеют одинаковые знаки.

9. Уравнение импульсов

Задача 4.9.1.Получить дифференциальное уравнение импульсов, рассматривая интегральное уравнение

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью.

Задача 4.9.2.Получить дивергентную форму записи ускорения

.

Задача 4.9.3.Доказать формулу Громеки-Лэмба

.

Задача 4.9.4.Поле тензора напряжений в декартовых координатах задано матрицей

,.

Какими должны быть массовые силы, чтобы среда с заданной плотностью была в равновесии?

Задача 4.9.5.Пусть в декартовой системе координат тензор напряжений имеет компоненты

,

остальные компоненты равны нулю; ,. Найти массовые силы, если известно, что среда находится в равновесии.

10. Уравнения кинетической и внутренней энергий

Задача 4.10.1.Получить дифференциальное уравнение баланса энергии, рассматривая интегральное уравнение

,

где – пространственный объем, ограниченный поверхностью.

Задача 4.10.2. Решить стационарную задачу одномерной теплопроводности. Область имеет длину. Коэффициент теплопроводности и источник теплаимеют постоянные значения во всей области: , .

Температура на левой границе равна, а на правой границе тепло уходит в окружающую среду, имеющую температурус коэффициентом теплоотдачи. Получить аналитическое решение дляи вычислить значение тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.

Рис. 4.4.2

Задача 4.10.3. Рассмотреть задачу стационарной одномерной теплопроводности в полом цилиндре с постояннымии, описываемую уравнением

.

Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных известных температурах и. Отношение радиусовравно 4. Источниковый член задан выражением. Получить аналитическое решение. Посчитать плотность тепловых потоков на границах. Показать выполнение теплового баланса.