Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

3. (0). Модель водородоподобного атома по теории Бора.

Водородоподобный атом

Водородоподобным называется атом, имеющий один электрон в электронной оболочке. Это атом обычного (легкого) водорода, атом тяжелого водорода (дейтерия), сверхтяжелого водорода (трития), однократно ионизированный атом гелия, двухкратно ионизированный атом лития и т.д.

Теория Бора

Рассмотрим водородоподобный атом, т.е. систему из ядра с зарядом +Ze и одного электрона. При Z=1 это водород, при Z=2 – однократно ионизи- рованный атом гелия, при Z=3 – двукратно иони- зированный атом лития и т.д.).

Предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r со скоростью v. Приравнивая кулоновскую силу и центробежную силу, находим:

Второе соотношение, связывающее радиус орбиты

Решаем совместно уравнения (3.1) и (3.2). Возве- дем в квадрат обе части уравнения (3.2) и выра-

зим из него квадрат скорости v:

v2 n2h2

me2r2 (3.3) Подставляя в (3.1), находим радиус орбиты элек-

Например, для водорода r1 = 0.53 Å, что совпадает с экспериментом в пределах его точности.

Найти кинетическую энергию электрона про- ще всего из формулы (3.1), сократив в обеих ее частях в знаменателе r и разде- лив обе части на 2:

Суммируя кинетическую и потенциальную энергию электрона, находим его полную

Подставляя в формулу (3.6) радиус из формулы (3.4), нахо-

Сравнивая с обобщенной формулой Бальмера (2.3), полу- чаем теоретическую формулу для постоянной Ридберга:

которая хорошо совпадает с экспериментальным значением

Rexp = 109677,6 см-1

Согласие с экспериментом будет еще лучше, если учесть, что при выводе этих формул мы считали ядро неподвижным, т.е. считали массу ядра бесконечно большой. На самом деле, хотя масса ядра на 3 по- рядка больше массы электрона, она все же не беско- нечна. Для учета массы ядра М надо во все получен- ные формулы вместо массы электрона подставить

что полностью совпадает с экспериментом.

Изотопический сдвиг

Более того, полученные формулы позволяют объяс- нить такой тонкий эффект, как изотопический сдвиг спектральных линий в спектре водорода и других водородоподобных атомов. У всех элемен- тов таблицы Менделеева есть изотопы (стабиль- ные или радиоактивные), ядра которых содержат одинаковое количество протонов, но разное чис- ло нейтронов, т.е. имеют разную массу. Напри- мер, у водорода есть стабильный изотоп дейте- рий (или тяжелый водород), ядро которого состо- ит из протона и нейтрона, и радиоактивный изо- топ тритий (сверхтяжелый водород), ядро которо- го состоит из протона и двух нейтронов.

Изотопический сдвиг

Поэтому значения постоянной Ридберга по формуле (3.10) для разных изотопов, хотя и немного, но различаются. Например, длина волны первой линии (альфа-линии) в серии Лаймана у обычного (легкого) во-

Эти значения в точности совпадают с экспе- риментальными.

Водородоподобный атом

Итак, радиус n-ой стационарной орбиты и энергия электрона на этой орбите в водородоподобном

дают результаты, хорошо согласующиеся с экспери- ментом. Постоянная Ридберга с учетом конечной

с точностью до 7-й значащей цифры совпадает с экспериментальным значением 109677,6 см-1, что позволяет объяснить такой тонкий эффект, как изотопический сдвиг спектральных линий.