Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора11

52. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящую оценку , но и указать к каким ошибкам может привести замена параметра его оценкой , т.е. требуется оценить точность и надежность оценки.

Для определения точности оценки в статистике пользуются доверительными интервалами.

Для определения надежности оценки в статистике пользуются доверительной вероятностью.

Опр. Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью .

.

Опр. Число называется доверительной вероятностью, а значение  – уровнем значимости.

Замечание. Нижняя и верхняя граница доверительного интервала определяется по результатам наблюдений и следовательно является СВ. Поэтому так и говорят, что доверительный интервал «накрывает» оцениваемый параметр с вероятностью .

Выбор доверительной вероятности каждый раз определяется конкретной постановкой задачи. Обычно р = 0,9; р = 0,95; р = 0,99.

Часто применяют односторонние доверительные интервалы

(левосторонний), (правосторонний).

В простейших случаях метод построения доверительных интервалов состоит в следующем –оценка,. Предположим, что существует непрерывная и монотонная функция Y, зависящая от и , но такая, что ее распределение не зависит от и других параметров. Для нахождения границ доверительного интервала по заданной доверительной вероятности . В этом случае можно использовать неравенство , где числа , определяются из условия

Рассмотрим нахождение доверительного интервала для среднего и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО.

3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В этом случае в качестве оценки дисперсии используют .

В литературе по математической статистике доказано, что имеет распределение .

По таблице распределения определяются квантили и .

.

.

56. Проверка статистических гипотез

Часто результаты наблюдений используются для проверки гипотез относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности.

Пусть Х – наблюдаемая СВ. Она может быть дискретной, а может и непрерывной.

Опр. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение СВ Х, иначе Н называется сложной.

Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. А гипотезы о виде распределения – непараметрические.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀.

Обязательно на ряду с Н₀ рассматривают одну из альтернативных гипотез Н₁.

При этом имеются различные ситуации для Н₁.

.

Выбор альтернативной гипотезы Н₁ определяется конкретной формулировкой задачи.

Опр. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием К. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений СВ Х, то необходимо выбрать подходящую статистику, которую мы будем называть статистикой Z критерия К.

Замечание. При проверке простой параметрической гипотезы Н₀: в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .

Основной принцип при проверке статистической гипотезы:

Маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Реализация этого принципа на практике. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости.

Пусть V множества значений статистики Z, V_K – подмножество множества значений статистики Z (V_K  V). Это такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н₀, имеем вероятность того, что .

Обозначим через z_b – выборочное значение статистики Z, которое вычитается по конкретной выборке.

Критерии К формулируется следующим образом.

Отклонить гипотезу Н₀, если .

Отклонить гипотезу Н₀, если .

Уровень значимости  определяет размер критической области, а ее положение зависит от альтернативной гипотезы Н₁.

–квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

– квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

продолжение 56:

Проверку параметрической гипотезы при помощи критерия значимости можно разбить на следующие этапы:

1. сформулировать Н₀ и Н₁;

2. назначить ;

3. выбрать статистику Z для проверки Н₀;

4. определить выборочное распределение Z при условии, что верна Н₀;

5. определить V_K (она зависит от Н₁);

6. получить выборку и вычислить z_b ;

7. принять статистическое решение:

– отклонить Н₀;

– принять Н₀

Статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки I-го и II-го родов.

Опр. Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза Н₀ отклоняется, когда Н₀ – верна.

Вероятность .

Опр. Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается гипотеза Н₀, но в действительности верна альтернативная гипотеза Н₁.

Вероятность ошибки второго рода при условии, что гипотеза Н₁ – простая, .

Проверка статистических гипотез и доверительных интервалов.

Проверка гипотез с использованием критерия значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. При этом одностороннему критерию значимости будет соответствовать односторонний доверительный интервал, а двустороннему критерию значимости будет соответствовать, двусторонний доверительный интервал.

Гипотеза Н₀ – принимается, если значение накрывается доверительным интервалом, иначе отклоняется.

54. Доверительный интервал для оценки МО при НЕизвестной дисперсии

2)Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В качестве оценки для m возьмем . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то по выборке определяем статистику . Доверительный интервал для m в этом случае находится с помощью статистики .

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы .

По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы, находим .

.

.

.

53. Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии

1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику

.

Статистика .

По таблице нормального распределения найдем квантили и

.

.

.

.

.

Учитывая, что получаем

.