Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора7

33.Условные законы распределения для системы СВ.

Если СВ образующие систему зависимы, то для нахождения закона распределения системы не достаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему, требуется знать так называемый условный закон распределения одной из них.

ОпрУсловным законом распределения одной из величин системы (X, Y) называется ее закон распределения вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Начнем с наиболее простого случая, а именно со случая, когда СВ Y является дискретной.

Опр.Условной функцией распределения называется условная вероятность события

Замечание 1.Условная функция распределения обладает всеми свойствами, которые присущи обычной (т.е. безусловной) функции распределения.

Замечание 2Если СВ X также дискретная, причем , то удобно рассматривать условную вероятность , СВ X принять значения при условии, что ,

В общем случае условную функцию распределения , однако, это не всегда возможно. Потому, что для непрерывного типа .

Чтобы отстроиться от этих неприятностей, попытаемся воспользоваться предельным переходом, заменяя событие , событием и устремив  0.

Получим.

Назовем условной функцией распределения Оказывается такой предел всегда существует.

Если СВ Y – непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением

В наиболее важных для приложений случаях вектор (X, Y) представляет собой двумерную непрерывную СВ с совместной плотностью .

Так как функция имеет производную по x, то мы получаем окончательное выражение для условной плотности.

Пример.

Найти:

продолжение 36:

,

,

, значит между компонентами X и Y существует отрицательная линейная зависимость.

Теорема.

Доказательство:

Следствие:

(доказательство проводится методом математической индукции).

35.Числовые характеристики системы двух СВ: Моменты начальные и центральные, ковариация.

Опр. Начальным моментом порядка системы двух СВ называется .

Если система для двух дискретных СВ, то .

Если система двух непрерывных СВ, то

.

Опр.Центральным моментом порядка системы двух СВ называется .

а) Если система двух дискретных СВ, то

б) Если система двух непрерывных СВ, то

На практике чаще всего встречаются моменты I-го и II-го порядка.

Точка с координатами на плоскости OXY представляет собой характеристику положения, точек X, Y, а их разброс рассеивания происходит вокруг точек .

.

Рассмотрим отдельно.

– ковариация СВ .

Механическая интерпретация.

Когда распределение вероятностей на плоскости ХOY трактуется, как распределение единичной массы на этой плоскости, точка – центр масс распределения, дисперсии и – моменты инерции распределения или относительно точки в направлении осей OX и OY соответственно, а ковариация – центральный момент инерции распределения масс.

Теорема: Если СВ X и Y независимы, то

Доказательство:

Для независимых СВ

, т.к. X и Y независимы.

 .

Замечание Попутно доказано, что в общем случае вычисляется по следующей формуле:,

Замечание. характеризует не только степень зависимости СВ, но также их рассеявание вокруг точки центра масс, но к сожалению размерность равна произведению размерностей X и Y. Чтобы получить безразмерную величину, характеризующую только зависимость, а не разброс ковариацию делят на произведение .

36. Коэффициент корреляции. Связь между…

Опр. Величина называется коэффициентом корреляции СВ X и Y.

Коэффициент характеризует степень зависимости СВ X и Y, но не любой, а только линейной зависимости, которая проявляется в том, что при возрастании одной СВ X , другая также проявляет тенденцию возрастания, в этом случае .

Если одна возрастает, а другая убывает, то .

В первом случае говорят, что две СВ связаны положительной корреляцией. Во втором случае говорят, что две СВ связаны отрицательной корреляцией. Модуль характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ X и Y. Если линейной зависимости нет, то .

Теорема. Если же СВ X и Y связывает жесткая функциональная линейная зависимость , то при , при .

Доказательство:

.

Теорема:

Доказательство:

Рассмотрим СВ , тогда

.

Опр. СВ X и Y называется не коррелированными, если (или ).

Замечание.

Из независимости СВ следует их не коррелированность. Обратное не верно. Из коррелированности не вытекает их независимость.

При этом любая другая зависимость может иметь место.

Пример.

Найти: – ?

Решение.

Очевидно, что компоненты X и Y зависимы.

продолжение 33:

Решение.

Таким образом СВ X при условии, что Y = y распределена равномерно на отрезке .

Если , то условная плотность не определена.

34. Мультипликативные свойства математических ожиданий, аддитивное свойство дисперсии

Теорема.

Если СВ X и Y независимы, то .

Доказательство:

Ограничимся случаем двух дискретных СВ принимающих конечное множество значений, тогда

В силу аддитивности МО,

Так как СВ независимы, то

.

Следствие: Если СВ – независимы, то (доказательство проводится методом математической индукции).

Из мультипликативного СВ МО  аддитивное свойство дисперсии.

Теорема.

Если СВ X и Y независимы, то .

Доказательство:

.

Так как X и Y независимы, то и независимы 

.

Следствие:

Если СВ – независимы, то .