Основные свойства случайных потоков вызовов

Рассмотрим случайные потоки вызовов, обладающие некоторыми особо простыми свойствами: одинарности, стационарности и отсутствия последействия.

Одинарным потокомтелефонных вызовов называется поток вызовов, в котором вероятность появления более чем одного телефонного вызова (i2) за малый промежуток времениt пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления одного телефонного вызова, т. е.

(4)

где о(t) — бесконечно малая более высокого порядка, чем малый промежуток времениt, определяемая выражением

Одинарностьслучайного потока вызовов означает практическую невозможность группового поступления вызовов в любом из вызывающих моментов времени. Поэтому для одинарных потоков справедливо тождество μ(t ) ≡ λ(t) для любого момента времени t.

Поток телефонных вызовов называется стационарным, если вероятность поступления ровно k вызовов P_k(t_j; t_j+t) за любой промежуток времени (t_j; t_j+t) определяется лишь длительностью этого промежутка t и не зависит от момента его начала t_j, т. е.

где j ≠ l. Другими словами, стационарность потока предполагает неизменность вероятностного режима поступления вызовов во времени и, следовательно, при определении параметра или интенсивности потока отпадает необходимость указывать момент начала их наблюдения t_i;. Поэтому для стационарных потоков справедливо неравенство λ ≤ μ.

Поток телефонных вызовов называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся промежутков времени число вызовов, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько вызовов попало на другой (или другие, если рассматривается более двух промежутков времени). Таким образом, отсутствие последействия потока вызовов означает независимость вероятности поступления вызова в момент t от предыдущих событий до этого момента времени.

Простейший поток телефонных вызовов и его свойства

Случайный поток телефонных вызовов, обладающий одновременно свойствами стационарности, одинарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком телефонных вызововили простопростейшим потоком.

Для полного определения случайного потока вызовов достаточно знать, какова будет вероятность того, что за промежуток времени [0; t₁) поступит k₁вызовов, за промежуток времени [0; t₂) поступитk₂вызовов и т. д., т. е. если будут известны для любой группы k₁, k₂, ..., k_nвызовов и положительных моментов времени t₁,t₂, ...,t_nвероятности их поступления Р₁(0;t₁); Р₂(0;t₂); ...; Р_n(0; t_n) или для любого произвольного промежутка времени [t₀; t₀+t) будет известна вероятность поступления ровно k вызовов – функция распределенияP_k(t₀;t₀+t), гдеt₀≥ 0 и 0 ≤k< ∞.

Определим функцию распределения для простейшего потока. Учитывая свойство его стационарности, очевидно, достаточно определить распределение вида P_k(t). С этой целью рассмотрим поступление ровноkвызовов за два соседних промежутка времениtиt+ ∆t. Это возможно несколькими способами. Например, если за промежуток времениtпоступитkвызовов, а за промежуток времени ∆t– 0 вызовов, или за промежуток времениtпоступит (k-1) вызов, за промежуток ∆t– 1 вызов и т.д. вплоть до нуля вызовов за промежутокtиkвызовов за ∆t, т.е. поступление вызовов может произойтиk+1 несовместимыми способами. Вероятность поступления вызовов за промежуток времени ∆tиз-за отсутствия последействия у потока не зависит от вероятности их поступления за предшествующий промежуток времениt. Поэтому, воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем

В этом уравнении все вероятности P_i(∆t) поступления i вызовов за малый промежуток времени ∆t в силу свойств одинарности простейшего потока вызовов, начиная с i = 2, 3, ..., есть бесконечно малые более высокого порядка, чем ∆t, и равны Р_{i ≥ 2}(∆t) =о(∆t) [см. формулу (4)]. Поэтому вышеприведенное уравнение можно упростить и привести к виду

(5)

формулы (2), а также из стационарности и одинарности рассматриваемого потока следует

(6)

В промежутке времени (∆t) для одинарного потока справедливы тождества:

Подставляя значения из (6), имеем

Представим (5) в следующем виде:

После предельного перехода, устремив ∆t → 0 с учетом (4), получим систему из (k+1) дифференциальных уравнений

В результате ее решения получим функцию распределения числа вызовов kза времяt

(7)

Простейший поток полностью определяется функцией распределения (7). Следовательно, для полной характеристики простейшего потока достаточно знать только одну величину – параметр или его интенсивность. Полученное выражение называется уравнением Пуассона. Кроме распределения Пуассона для задания простейшего потока можно пользоваться еще двумя эквивалентными способами– простыми распределениями, которые приводятся здесь без вывода.

Так, простейший поток можно задать системой функций распределения вероятностей поступления вызовов:

где ζ_kиt_k– соответственно случайный и фиксированный моменты времени поступленияk-го вызова. Простейший поток можно также полностью определить системой функций распределения промежутков между моментами поступления вызовов:

где Z_kиt_k– случайная и фиксированная величины промежутка времени, предшествующегоk-му вызову.

Важное свойство, присущее простейшему потоку, состоит в том, что при объединении nпростейших потоков соответственно с параметрами λ₁; λ₂,…, λ_n получаем вновь простейший поток, параметр которого равен сумме параметров объединяемых потоков

Численные характеристики простейшего потока – математическое ожидание M_iи дисперсия D_iчисла вызовов i за промежуток времени t – равны друг другу и определяются выражениями:

Этим свойством часто пользуются на практике при решении вопроса о справедливости гипотезы о том, что случайный поток имеет распределение, подобное простейшему потоку.