Основы теории телетрафика Общие сведения

При исследовании процессов, связанных со случайными явлениями, широко применяется математическое моделирование. В ходе построения модели рассматриваемое явление (процесс) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или иного математического аппарата. Такая модель должна быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важнейшие факторы, от которых существенно зависит результат исследуемого явления. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить аналитические зависимости между входящими в нее параметрами.

Время обслуживания

Телефонные вызовы, поступающие по абонентским линиям на телефонные станции и по соединительным линиям на узлы коммутации, занимают коммутационные приборы и линии на время ведения разговора и установления требуемого соединения. Продолжительность одного такого занятия, показывающего, сколько времени затрачивается на его обслуживание, называется временем обслуживания. Для контролируемого промежутка времени (t₁, t₂) определяют среднее время обслуживания h как математическое ожидание длительности занятий в этом промежутке времени (t₁, t₁). Различают математические модели, соответствующие фиксированному и случайному времени обслуживания. Фиксированное время может быть задано последовательностью величин h_i, характеризующих длительность обслуживанияi-го вызова. Например, последовательностью из четырех междугородных телефонных переговоров заранее определенной длительности: h₁=5,h₂=3, h₃=10, h₄=4 мин — в промежутке времени (t₁=10 ч 50 мин, t₂=11 ч 20 мин). В этом примере, очевидно, среднее время обслуживания составляетh=5,5мин. Фиксированное время обслуживания называютпостоянным, если h_i=h. Например, постоянна длительность обслуживания некоторых устройств управления при установлении ими соединения.

В общем случае время обслуживания является случайной величиной. Случайное время обслуживания как случайную величину можно описать вероятностным законом распределения. Если длительность случайного времени обслуживания обозначить через , то вероятность Р(<t) определяет, что длительность обслуживаниябудет меньше некоторого наперед заданного значения времени t. В качестве такого распределения можно использовать отрицательное экспоненциальное распределение

Р(<t) = 1-e^-t/h , (1)

как являющееся достаточной аппроксимацией реальных условий случайной длительности обслуживания. Величина h, входящая в это уравнение, является средним временем обслуживания. Используя (1), можно определить, какова будет вероятность того, что длительность случайного времени обслуживания не превзойдет; например, 10 мин, если среднее время занятия в наблюдаемом промежутке времени h=5 мин. Искомая вероятность равна

Р(<t=10 мин) = 1-e^-10/5= 0,8647.

Характеристики потоков вызовов

Последовательность телефонных вызовов при непрерывном отсчете времени их поступления называется потоком телефонных вызовов. Различают детерминированный и случайный потоки вызовов.

Детерминированным потокомназывается поток вызовов с фиксированными моментами их поступления.

Например, поступление телефонных вызовов строго по расписанию. Такой поток сравнительно редко встречается на практике.

Если моменты поступления телефонных вызовов зависят от случайных факторов, то такой поток называется случайным потоком телефонных вызовов.

Основными характеристиками случайного потока являются его параметр и интенсивность.

Параметр случайного потока вызовов (t)в момент времени t есть предел. отношения вероятности Р_{i  1} (t, t+t) поступления не менее одного вызова (i1) в промежутке времени (t, t+t) к величине этого промежутка времени, когда последний стремится к нулю

(2)

Интенсивность случайного потока вызовов (t)в момент времени t есть предел отношения приращения математического ожидания числа вызовов в промежутке времени (t, t+t) к величине этого промежутка, когда последний стремится к нулю

(3)

где (0, t) и(0, t+t) — математические ожидания за промежутки времени [0, t) и [0, t+t) соответственно. Интенсивность(t) характеризует случайный поток вызовов в момент времени t числом поступающих вызовов, а его параметр(t) характеризует этот же поток за ту же единицу времени числом вызывающих моментов, т. е. моментов времени поступления одного или одновременно группы вызовов. Поэтому для любого случайного потока вызовов всегда имеет место соотношение(t)(t).