функциональные последовательности

Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу  ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве  задана функциональная последовательность . Множество  называется областью определения последовательности .

Определение.  сходится в точке , если числовая последовательность  сходится. Множество всех точек  в которых  сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .

 - область сходимости . Пусть  - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция  называется предельной функцией последовательности .

Замечание. Точечная сходимость  на некотором множестве  не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема.  сходится равномерно на  тогда и только тогда, когда .

Доказательство. ()  сходится равномерно на   функция  определенная на  такая что  на .

Фиксируется .  для .

.

() Имеем: .

Критерий Коши выполнени  (фиксированного).  фиксированного  числовая последовательность  сходится в фиксированному числу.  функциональная последовательность  сходится к некоторой функции  на . Докажем  на .

Имеем по условию: .  Для любого фиксированного  переходим в неравенстве  к .  функциональная последовательность  на .