Лемма Асколи-Арцела. Теорема Пеано

Лемма Асколи-Арцела.  Из любой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной последовательности функций  можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность 

Доказательство. Пусть  - равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.  - разделим прямоугольник на вертикальные полосы высоты  и длины 

График каждой из функций  может находиться не более чем в двух смежных парах прямоугольников высоты . В каждой вертикальной полосе есть пара прямоугольников, в которых располагается бесконечное множество графиков, так как множество прямоугольников конечно, а подпоследовательностей бесконечно. Выберем подпоследовательность функций в этих прямоугольниках 

, теперь будем уменьшать . возьмём  и выберем 

, 

Диагональный процесс Кантора - берем элементы на главной диагонали 

 выбираем номер p: , тогда 

Теорема Пеано.  Пусть функция  определена и непрерывна в области G и пусть точка 

Тогда существует решение задачи Коши определенное на некотором отрезке 

Доказательство. -окрестность точки . .

Функция непрерывна на замкнутом множестве, след-но ограничена на нём: . Зафиксируем некоторое N и рассмотрим разбиение отрезка: . Рисуем ломаную Эйлера через , такую что угловой коэффициент равен  на . Ломаная не может выйти за пределы , так как чтобы она вырвалась угол наклона должен быть больше L, а это невозможно. Получаем последовательность .

На 

Последовательность ограничена:  (1) Заметим также, что последовательность равностепенно непрерывна:  Значит по лемме Асколи-Арцела  на , здесь  - решение задачи Коши.

Зафиксируем некоторую точку .Если начать менять , то возникает картина меняющихся подотрезков, но каждый раз  будет принадлежать некоторому отрезку 

 (вместо  поставим предельную функцию ) 

Первое слагаемое в сумме при стремлении длины отрезка к нулю будет стремиться к интегралу: .

Покажем что . Заметим, что f непрерывна на всём G  непрерывна на треугольнике (1), а так как треугольник - ограниченное множество, f равномерно непрерывна на (1)   В частности, если  и  совпадают,  разность  как только .

 может быть оценен  при . Это говорит о том, что 

Теперь перейдем к передлу, когда , это равненство справедливо для 

Единственность решения задачи Коши

Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если  окрестность  и постоянная 

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное

Доказательство. От противного. Пусть существует два решения , определённые на  и . В точке  решения  по условию задачи Коши, но . Пусть .

Рассмотрим точку всех точек , таких что .

Множество точек непустое и ограниченное. 

Поскольку  непрерывны, супремум - максимум, значит  и {}

 на  (1)

 на  (2)

В силу условия теоремы  удовлетворяет локальному условию Липшица  некоторая окрестность  верно как только 

Вычтем (1) из (2):  на  Проинтегрируем неравенство на : 

Заменим отрезок на меньший  

. Выберем , чтобы  оказалось . Получаем что , чего быть не может.

Определение. Функция  удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной , если  диаметра  и функция  такие что 

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.

Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения:  Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциия  удовлетворяет на отрезке  тождеству  на .

Поделим обе части неравенства на :  всюду на 

 на . Проинтегрируем на :

. Устремим . , второй интеграл  - противоречие.