Лекции / 11

11.Ошибки первого и второго рода при проверке стат.-их гипотез. Область принятия гипотезы. Критическая область. Статистический критерий и его мощность. Общее правило проверки статистических гипотез.

При проверке стат.-их гипотез всегда сущ. риск принятия ложной гипотезы, это объясняется тем, что объем выборки конечен. Ошибки, допустимые при принятии решений м.б. 2 видов:

О: ошибка 1 рода наз. ошибка отклонения правильной нулевой гипотезы.

О: уровнем значимости стат.. критерия наз. вер-ть совершения ошибки 1 рода.

О: ошибкой 2 рода наз. ошибка принятия ложной нулевой гипотезы. Вер-ть ошибки 2 рода обозн. .

О: мощностью стат. критерия наз. вер-ть 1- не совершения ошибки 2 рода, т.е. вероятность отклонения неверной гипотезы Н_а.

Стат. критерий значимости – это одностороннее действующий критерий. На его основании можно принять только одно реш-е – принять или отклонить Н₀.

На практике в большинстве случаев достаточно т.к. исследователь, хочет знать дают ли рез-ты эксперимента возможность отклонить Н₀и принять вместо нее Н_а.

В зависимости от вида Н_а критич. область м.б. двусторонней, правосторонней и левосторонней.

П

двустор.

Р. Н₀: а=а₀

Н_а: а≠а₀

Н

правостор.

₀: а=а₀

Н_а: а>а₀

левостор.

Н₀: а=а₀

Н_а: а<а₀

Общее правило проверки гипотезы:

1. Задается уровень значимости (:0,05; 0,01;…)

2. Находится по спец. табл. по уровню значимости (или по уровню значимости и числу степеней свободы)

3. Находят с помощью выборки

4. – если критич. обл-ть двустор. и , то Н₀ отклоняют, т.к. наблюдаемое знач-е критерия попадает в критич. обл-ть. В противном случае, т.е. , то Н₀ примен-ся.

- Если критич. обл-ть правостор. и , то Н₀ отвергается и приним-ся Н_а. В противном случае, т.е. - приним-ся Н₀.

- Если критич. обл-ть левостор. и , то Н₀ отвергается, в противном случае нет основания отвергнуть Н₀.

Лемма Неймана-Пирсона

Пусть это выборка из генер. сов.-ти имеющ. з-н распределения . Для разн. знач. получ. различн. з-ны распределения. Требуется найти такое знач. , чтобы з-н распределен. наилучшим образом соответств. данной выборки, т.е. при другом знач. вер-ть получить эту выборку будет меньше.

Пусть для данной выборки построена ф-я правдоподобия

Т:Если выборка имеет ровно две пл-ти и , то отношение явл.достаточной статистикой.

З! Это теорема справедлива для конечного числа плотностей т.е .

Пусть теперь при Н₀ отношение правдоподобий таково, что для которого вер-ть , это означает что если критич. обл.образ.из всех достат.больших знач.отношений правдоподобий, то можно найти единствен.обл. заданного размера .

Л:Для задан. числа сущ. критич.обл. отношен. правдоподобий , которая явл. наилучшей крит.обл.

При изучении статистич.крит.неявно предполагалось, что и Н₀ и Н_а гипот.сложные,т.е состоит из простых гипот.,то возможны два случая:

1.Крит.обл. размера .одна и таже для всех простых, составл. их Н_а

2.Крит.обл. зависит от выбранной кокурирующей гипот.

О:Если крит.обл. размера одна и таже для простой гипот.сост.альтернативную, то говорят, что это равномерно наиболее мощная крит.обл.размера .

Если сист.крит.обл-й облад.этим св-м для , то критерий наз.равномерно наиболее мощный.