Вопрос 17. (Системы координат).

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

Основные системы:

Декартовы координаты

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел  :

•  — расстояние от точки P до оси y с учетом знака

•  — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве же необходимо уже 3 координаты  :

•  — расстояние от точки P до плоскости yz

•  — расстояние от точки P до плоскости xz

•  — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты

Основная статья: Полярная система координат

В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.

Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Основная статья: Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем  . В терминах декартовой системы координат,

•  (радиус) — расстояние от оси z к точке P,

•  (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость

•  (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.

Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение  , тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c

Сферические координаты

Основная статья: Сферическая система координат. Сферические координаты — трехмерный аналог полярных

Вопрос 18. (Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис).

Под осью будем понимать направленную прямую.

О: Проекцией т. А на ось называется основание перпендикуляра , опущенного из т. А на . Составляющей вектора по оси / называется вектор , где

(рис. 2.7). Проекцией вектора на называется число . Знак (+) берется, если знак (-) — если  Если — единичный вектор (т.е. =1) в направлении то 

Рис. 2.7

Свойства проекций:

1°.   где

Если , тогда из АВК имеем  (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Если , тогда КА =    (рис. 2.9).

2°. Проекция суммы векторов на ось  равна сумме проекций векторов на

Доказательство геометрическое (рис. 2.10).

3°.   Доказательство проводится с помощью свойства 1°.

Координаты вектора:

На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

При сложении векторов складываются их соответственные координаты; при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение векторов с координатами (x; y) и (x'; y') равно сумме произведений соответственных координат: xx' + yy'.

Чтобы вычислить координаты вектора   , зная координаты (x₁; y₁) его начала A и координаты (x₂; y₂) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x₂ – x₁; y₂ – y₁).

Все сказанное справедливо и для случая пространства с той разницей, что базис в пространстве состоит из трех векторов, а наборы координат векторов и точек – из трех чисел.

Базис:

Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

• Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

• Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

или

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).

или

— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

Представление какого-то конкретного (любого) вектора  пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

или

или, употребляя знак суммы  :

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты   называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора   в базисе   (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).