- •Вопрос 3. (Комплексные числа. Действия на к.Ч. В алгебраической форме)
- •Вопрос 4. (Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа).
- •Вопрос 5. (Матрицы. Действия над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц)
- •Вопрос 6. (Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка).
- •Вопрос 7. (Определитель энного порядка. Определение, свойства определителей).
- •Вопрос 8. (Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Теорема Лапласа).
- •Вопрос 9. (Обратная матрица)
- •Вопрос 10. (Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гауса).
- •Вопрос 11. (Система линейных алгебраических уравнений слау. Основные понятия)
- •Вопрос 12. (Решение слау матричным методом).
- •Вопрос 13. (Решение матричных уравнений).
- •Вопрос 14. (Формулы Крамера для решения слау).
- •Вопрос 15. (Исследование слау. Теорема Кронекера – Капелли).
- •Вопрос 16. (Метод Жордана – Гауса для решения слау).
- •Вопрос 17. (Системы координат).
- •Вопрос 18. (Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис).
- •Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).
- •Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).
- •Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).
- •Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 23. (Векторное произведение векторов).
- •Вопрос 24. (Смешанное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 25. (Разложение вектора по базису в пдска).
- •Вопрос 26. (Общее уравнение прямой на плоскости).
- •Вопрос 27. (Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом).
- •Вопрос 28. (Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках).
- •Вопрос 29. (Нормальное уравнение прямой).
- •Вопрос 30. (Расстояние от точки до прямой).
- •Вопрос 31. (Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых).
- •Вопрос 32. (Плоскость. Общее уравнение плоскости).
- •Вопрос 33. (Нормальное уравнение плоскости).
- •Вопрос 34. (Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках).
- •Вопрос 35. (Уравнение плоскости, проходящей через три точки).
- •Вопрос 36. (Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей).
- •Вопрос 37. (Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве).
- •Вопрос 38. (Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости).
- •Вопрос 43. (Общее уравнение кривой второго порядка. Инварианты).
- •Вопрос 44. (Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты).
- •Вопрос 45. (Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования).
Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).
Геометрические скалярного произведения векторов:
Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи
Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|
Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а0= (а)*|a|=|a|2
Алгебраические свойства скалярного произведения:
а=в*а – коммутативность
(L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.
(а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность
а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.
При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения
.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.
Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).
Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).
Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение векторов. Пусть и– два произвольных вектора. Возьмем произвольную точкуО и построим вектор ; затем от точкиА отложим вектор . Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называетсясуммой этих векторов и обозначается . Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точкиО векторы и. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограммОАСВ. Вектор – диагональ параллелограмма – является суммой векторови
Вычитание векторов. Разностью векторовиназывается такой вектор, который в сумме с векторомдает вектор:Û.
Если векторы ипривести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»
Таким образом, если на векторах и, отложенных из общей точкиО, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме, а вектор, совпадающий с другой диагональю, – разности
Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное числоназывается вектор(обозначают), определяемый следующими условиями:
1) ,
2) приипри.
Очевидно, что при .
Из определения следует: два вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
Свойства линейных операций:
1) ;
2) ;
3) ;;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;;
Пусть дан вектор .Ортом вектора (обозначается) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором.
Очевидно, для любого вектора.
Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).
Геометрические скалярного произведения векторов:
Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи
Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|
Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а0= (а)*|a|=|a|2
Алгебраические свойства скалярного произведения:
а=в*а – коммутативность
(L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.
(а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность
а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.
При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения
.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.