|
x −1 2x |
lim 2xln |
x−1 |
|
lim 2xln(1− |
1 |
) |
lim 2x(− |
1 |
) |
|
|
|
|||||||||
|
x |
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. lim |
|
|
|
|
= [1∞ ]= ex→∞ |
|
|
|
= ex→∞ |
|
|
|
= ex→∞ |
|
|
|
= e−2 |
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1.14. Непрерывность функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 1. |
Пусть дана функция y = f (x) . Рассмотрим два значения ее аргумента x и |
x0 . |
||||||||||||||||||||
Разность |
x − x0 = |
|
x |
называется |
приращением |
аргумента |
|
x |
в |
точке x0 . Разность |
||||||||||||
у − у0 = f (x) − f (x0 ) = |
y называется приращением функции y = f (x) в точке x0 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Так как x − x0 = |
x , то x = x0 + x и |
y = f (x0 + |
х) − f (x0 ) . |
|
||||||||||||||||
Определение 2. Функция y = f (x) |
называется непрерывной в точке |
x0 , |
если она определена в |
|||||||||||||||||||
некоторой |
окрестности |
точки x0 |
и |
lim |
y = 0 , т.е. |
если |
бесконечно |
малому приращению |
||||||||||||||
x соответствует б. м. приращение |
y . |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = lim (f (x) − f (x0 ))= 0 |
|
|||||||||||||
Так как |
y = f (x) − f (x0 ) , |
то |
можно |
переписать |
lim |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→х0 |
|
|
|||
lim f (x) = f (x0 ) .
x→х0
Таким образом, получаем эквивалентное определение:
Определение 3. Функция |
y = f (x) |
называется непрерывной в точке x0 , |
если она определена в |
|||||||
некоторой окрестности точки x0 и lim |
f (x) = f (x0 ) или |
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|||||
|
|
|
x→х0 |
|
|
x→х0 +0 |
|
|
x→х0 −0 |
|
Это равенство можно переписать в виде lim |
f (x) = f ( lim |
x) , |
то есть под знаком непрерывной |
|||||||
функции можно переходить к пределу. |
x→х0 |
|
x→х0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях. |
|
|
|
|
||||||
Теорема 1. Если функции |
f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , |
то непрерывны в этой же точке их |
||||||||
сумма, произведение и частное (при g(x0 ) ≠ 0 ). |
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim F(x) = lim (f (x) + g( x))= lim f (x) + lim g(x) = f ( x0 ) + g(x0 ) = F(x0 ) |
||||||||||
x→х0 |
x→х0 |
|
x→х0 |
x→x0 |
|
|
|
|
||
функция F(x) = f (x) + g(x) ― непрерывная в точке |
x0 . Аналогично доказываются теоремы для |
|||||||||
произведения и частного. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Если функция g(x) непрерывна в точке x0 , а функция |
f (u) ― в точке u0 = g(x0 ) , то |
|||||||||
сложная функция f (g(x)) |
непрерывна в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
lim |
f (g(x)) = lim f (u) = f (u0 ) = f (g(u0 )) . |
|
|
|
|||||
x→х0 |
|
u→u0 |
|
|
|
|
|
|
||
Определение 4. Если функция y = f (x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а; b), то |
||||||||||
функция называется непрерывной на этом интервале. |
|
|
|
|
|
|||||
Определение 5. Функция |
y = f (x) |
называется непрерывной слева (справа) в точке x0 , если она |
||||||||
определена в точке x0 |
и |
lim |
f (x) = f (x0 ) (или |
lim |
f (x) = f (x0 ) ). |
|
||||
|
x→х0 −0 |
|
x→х0 +0 |
|
|
|
|
|||
Определение 6. Функция |
y = f (x) |
называется непрерывной на замкнутом интервале [a; b], если |
||||||||
она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна справа в точке а и слева в точке b . Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.
1. Непрерывная на [a; b] функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т , т.е. m ≤ f (x) ≤ M (рис. 11).
16
Рис. 11.
2.Непрерывная на [a; b] функция является ограниченной на этом отрезке. Это следует из неравенства
М≤ f (x) ≤ m х [а; b].
Классификация точек разрыва.
Если в точке x0 хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка называется точкой разрыва данной функции.
1.Пусть существуют односторонние пределы:
|
|
lim f (x) = f (x0 −0) и |
lim f (x) = f (x0 + 0) . |
|||||
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
|||
а) Если f (x0 −0) ≠ f (x0 + 0) , но являются конечными числами. |
то точка x0 называется точкой |
|||||||
разрыва первого рода (рис. 12). |
|
f (x) в точке x0 . |
||||||
Величина δ = |
|
f (x0 + 0) − f (x0 −0) |
|
называется скачком функции |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12.
б) Если f (x0 −0) = f (x0 + 0) ≠ f (x0 ) , то точка x0 называется точкой разрыва первого рода или
точкой устранимого разрыва (рис. 13).
Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке x0 ,
f (x), если х ≠ х |
0 |
|||
т.е. ввести новую функцию у = |
А, если |
|
||
|
х = х0 . |
|||
|
|
|
|
|
Рис. 13.
2. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода (рис. 14).
Рис. 14.
Примеры. Исследовать функции на непрерывность:
x −1, |
если |
0 ≤ х < 3, |
|
1) f (x) = |
3 − х, |
если |
3 ≤ х ≤ 4. |
|
|||
Изобразим график этой функции (рис. 15). В точке х = 3 у функции разрыв, так как
17
lim |
f (x) = |
lim (x −1) = 2 |
разрыв I рода, скачок. |
|||
x→3−0 |
f (x) = |
x→3−0 |
|
|||
lim |
lim |
(3 − x) = 0 |
|
|
||
x→3+0 |
|
x→3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует |
отметить, |
что в точке |
х = 0 |
функция непрерывна |
справа, |
так |
как |
|||||||||||||
lim |
f (x) = |
lim |
(x −1) = −1 = f (0) . В |
точке х = 4 функция |
непрерывна слева, |
так |
как |
|||||||||||||
x→0+0 |
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = |
lim |
(3 − x) = −1 = f (4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→4−0 |
sin x |
|
x→4−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
||
Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, |
так как lim |
= |
lim |
=1 и |
f (0) не |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
x |
x→0−0 |
x |
|
|
|
|||
существует. Доопределить |
функцию по непрерывности ― это значит задать f (0) =1, |
т.е. |
получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
sin x , |
x |
≠ 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функцию вида y = |
x |
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) y = sin 1x .
Точка x = 0 является точкой разрыва II-го рода, так как lim sin 1 не существует. График функции x→±0 x
колеблется между (−1) и 1, не приближаясь ни к какому значению.
4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ
1.Дайте определение окрестности радиуса h > 0 конечной точки x0 . Как обозначается такая окрестность?
2.Дайте определение h - окрестности точек ± ∞. Как обозначается такая окрестность?
3.Чем отличается h - окрестность и проколотая h - окрестность конечной точки x0 ?
4.Дайте определение предела функции через окрестности.
5.Как записать определение предела функции, не используя понятия окрестности?
6.В чём отличие правостороннего и левостороннего предела функции?
7.Если в некоторой окрестности точки x0 три функции связаны неравенством ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) и существуют конечные пределы lim ϕ(x) = lim g(x) = A , то что можно сказать о lim f (x) ?
→x0 x→x0 x→x0
8.Сформулируйте первый замечательный предел.
9.Какая функция называется ограниченной (неограниченной) на некотором множестве?
10.Как называется функция, для которой в точке x0 справедливо соотношение lim f (x) = 0 ?
→x0x
11. |
Как называется функция, для которой в точке x0 |
справедливо соотношение lim f (x) = ∞? |
||||
12. |
Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. |
x→x0 |
||||
|
|
|||||
13. |
Если существуют конечные пределы двух функций |
lim f (x) = A |
и |
lim |
g(x) = B , то чему |
|
|
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
равны следующие пределы: lim ( f (x) + g(x)) , |
lim ( f (x) g(x)) , |
lim |
f (x) |
? |
|
|
g(x) |
|||||
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
|
||
|
18 |
|
|
|
|
|